Родился в семье Поволжских немцев в селе Большая Дмитриевка, Аткарского уезда Саратовская губернии 4 (17) мая 1911 года. Мать Келлер Екатерина Фридриховна умерла в 1917 году, отец Келлер Генрих Кондратович — в 1921. Родители — уроженцы немецкой колонии Бальцер, чьи предки проживали там с 1767 года, то есть с момента заселения Нижнего Поволжья немцами-колонистами. В семье было 6 детей. Отец держал лавку, продавая все от керосина и гвоздей до материи и продуктов. После смерти отца А. А. Келлер до 1925 года находился в детском доме, в 1925—1928 — в Красной Армии добровольцем. Состоял при армейском оркестре. С 1929 по 1932 учился в торгово-промышленном колледже в городе Энгельс.
С 1932 по1936 год Келлер учился в Государственном центральном ордена Ленина институте физической культуры имени И. В. Сталина. Параллельно играл в футбол за клубные команды Москвы. Был отмечен чехословацким тренером Антонином Фивебром среди талантливой футбольной молодежи того времени Во время учебы подрабатывал также игрой на рояле в ресторанах.
По окончании направлен в город Горький, где первоначально работал в техникуме. По итогам Всесоюзного тренерского сбора, проходившего в Тбилиси в декабре 1938 года, приказом председателя Всесоюзного комитета физкультуры В. В. Снегова от 27 января 1939 года А. А. Келлеру, наряду с еще 28 тренерами была присвоена высшая (первая) тренерская категория. По сути это было первое «лицензирование» тренеров в истории спорта СССР.
С 1938 по октябрь 1940 года — играющий тренер горьковского «Торпедо», выступавшем тогда в группе «Б» чемпионата СССР по футболу. В своем первом сезоне на уровне второго по силе дивизиона в 1939 году команда заняла 12 место из 23 команд, в следующем сезоне — 9 из 14. В 1940 году как игрок принял участие в 12 матчах команды и забил 1 гол.
С 1940 по июнь 1941 года — тренер сталинградского «Трактора», выступавшего в высшем дивизионе страны. Под руководством А. А. Келлера команда провела 12 матчей в чемпионате СССР из которых выиграла 3, вничью сыграла 7 и проиграла 2 раза. В последнем матче прерванного войной чемпионата, который состоялся уже после ее начала — 24 июня 1941 года «Трактор» обыграл «Стахановец» из Сталино на его поле со счетом 2:3. На момент прерывания чемпионата команда А. А. Келлера занимала 4 место, отставая от лидеров на 2 очка.
После издания Указа Президиума Верховного Совета СССР «О переселении немцев, проживающих в районах Поволжья» от 28 августа 1941 г. была ликвидирована Автономная Республика немцев Поволжья и произведена тотальная депортация немцев. Депортирован был и А. А. Келлер в Казахстан, город Зыряновск. Его жене удалось перебраться в Харьков.
Позже был мобилизован в трудовую армию. с 1941 по 1951 находился в Вятском исправительно-трудовом лагере в Кировской области. Сначала работал на лесоповале, потом на поселении. В 1947 г. воссоединился с женой. В 1949 г. в Вятлаге родилась дочь — Наталья.
Как и все немцы до 1955 года находился на так называемом режиме «спецпоселения», который был снят указом Президиума Верховного Совета СССР 13 декабря 1955 года. С этого времени формально надзор за выселенными немцами был прекращен.
В 1948 году руководством Кирова была сделана попытка выхода в большой футбол с командой завода «Сельмаш» — Трактор. Была подана заявка на участие в играх в первенстве РСФСР. Команда выступила неудачно. Было принято решение укреплять футбольные позиции региона, но уже за счет другой команды —«Динамо».
Начальник Вятлага полковник А.Кухтиков помог А. А. Келлеру перебраться в Киров где ему была поставлена задача: сделать из «Динамо» лучшую команду в области. Келлер привлек в команду местных молодых способных футболистов, команда резко улучшила игру, и в сезоне 1953 года была заявлена на первенство РСФСР. В 1956 году динамовцы становятся обладателями Кубка области. В этом же году команда получила повышение в классе, несмотря на то, что формально не имела на это право, заняв в своем турнире лишь 4-ое место.
Кировчане были определены в зону III чемпионата в классе «Б». В первый свой год выступления «Динамо» под руководством А. А. Келлера заняло 9 место в своей зоне, опередив финишировавший 10-м ташкентский Пахтакор — будущий клуб тренера Келлера. В следующем сезоне команда также была 9-ой в своей зоне, а в 1959 году ей чуть-чуть не хватило для победы и повышения в классе, в таблице своей зоны Динамо из Кирова осталось вторым. За 8 лет футбол в Кирове был поднят А. А. Келлером с любительского до профессионального уровня.
В 1959 году команда Пахтакор из Ташкента была включена в Высшую лигу чемпионата СССР. Главным тренером был приглашен А. А. Келлер.
Берадор Абдураимов вспоминает:
Келлер был достаточно строгий тренер, уделявший серьезное внимание физической подготовке помимо тактических изысканий. После потогонных тренировок он выставлял игрокам оценки. «Двоечников» вынуждал работать сверхурочно.
О работе с Пахтакором в плане командной тактики сам А. А. Келлер говорил следующее:
В сезоне 1960 года Пахтакор занял 14 место мз 22 команд. Через год был 10-м, а в 1962 году поднялся на высокое 6-ое место. После такого успеха А. А. Келлер получил звание Заслуженного тренера СССР.
В сезоне 1963 года, после ряда кадровых потерь Пахтакор ждал провал — он занял последнее место в чемпионате и вылетел из Класса А, куда вернулся уже через год с другим тренером.
С 1965 года — член КПСС.
В 1966 по 1967 гг. работал в клубе «Терек» Грозный.
С 1968 по 1970 тренировал клуб «Алга» Фрунзе, выведя его в 1969 году в первую группу класса «А» и сохранив место в этом дивизионе в 1970 году.
В 1971 году вернулся в Пахтакор, но команда провела крайне неудачный сезон, заняв предпоследнее место в таблице.
С 1972 по 1982 год директор футбольной школы Октябрьского района Алма-Аты. Умер Александр Келлер 19 января 1983 года, похоронен в Алма-Ате. Включен в «Зал славы» истории футбола Узбекистана.
В разное время под руководством А. А. Келлера работали следующие известные футболисты:
Женился 24 июня 1935 года на Антонине Пантелеймоновне Клеванной, которая также училась в Государственном центральном ордена Ленина институте физической культуры имени И. В. Сталина. До войны — спортсменка-легкоатлетка, затем преподавала физкультуру в разных учреждениях. У Александра и Антонины родилось детей (по старшинству): Виктория, Евгений, Наталья.