Родился в ауле Матыбулак Семиреченской области, но основную жизнь прожил в селе Кирово на Курдае (ныне аул имени Кенена Кордайского района Жамбылской области).
Отец Азербай и мать Улдар, хорошие певцы и домбристы, заложили в него любовь к музыке и народной песне. С 11 лет Кенен сочинял стихи в сопровождении домбры.
Ученик и последователь Жамбыла. Им написано около 150 стихотворных произведений, переложенных на музыку. Кенен славился своими вокальными данными. Он продолжил в своих произведениях лучшие традиции великих казахских акынов — Биржана-сала и Ахана-серэ. Главная тема произведений К. Азербаева — жизнь народа в целом, мечты и надежды каждого человека в отдельности.
Принимал активное участие в национально-освободительном движении 1916 года. Его песни этого периода «Булбул» (с каз. — Соловей, впервые исполнила Дина Нурпеисова), «16 жыл», «Базар Назар», поэмы «Али батыр», «Кыргызбай» воодушевляли участников на борьбу, вызывали в них чувство гордости за свою землю, свой народ.
Гражданские, духовные, лирические мотивы творчества К. Азербаева снискали всеобщую любовь и уважение.
На русский язык многие произведения К. Азербаева были переведены Бахытом Канапьяновым.