Кес Звамборн начал свою футбольную карьеру в молодёжном составе клуба «Влардинген». В 1978 году Звамборн перешёл в амстердамский «Аякс». Всего в составе «Аякса» в чемпионате Нидерландов Кес провёл 73 матча и забил 3 мяча, а во всех официальных турнирах Звамборн провёл 93 матча и забил 3 мяч, Кес также стал двукратным чемпионом Нидерландов и обладателем кубка Нидерландов в 1979 году.
В 1981 году Кес отправился в Германию выступать за «Дуйсбург». Дебют Звамборна в Бундеслиги состоялся 28 ноября 1981 года в матче против клуба «Дармштадт 98», завершившийся поражением «Дуйсбурга» со счётом 3:2. Всего в сезоне 1981/1982 Кес провёл 18 матчей, а его клуб по итогам сезона занял последнее 18 место и вылетел во вторую Бундеслигу.
Дебют Кеса во второй Бундеслиги состоялся 7 августа 1982 года в матче клуба «Франкфурт», который завершился поражением «Дуйсбурга» со счётом 2:1. Свой первый гол за «Дуйсбург» Звамборн забил 2 октября 1982 года в игре против клуба «Дармштадт 98», Кес забил на 53-ой минуте матча, который завершился вничью 3:3. Всего в сезоне 1982/1983 Кес провёл за «Дуйсбург» 30 матчей и забил 1 мяч. В 1983 году Кес вернулся в Нидерланды и стал игроком клуба «НАК» из города Бреда, там же Звамборн и завершил свою футбольную карьеру.
Поле завершения игровой карьеры Звамборн стал тренером молодёжного состава клуба «Фейеноорд». В 1996 году Кес стал главным тренером клуба «Ден Босх», который выступал во втором дивизионе Нидерландов. Спустя три года Кес возглавил «НАК», в котором ранее выступал. Под руководством Звамборна клуб не смог спастись от вылета во второй дивизион. Покинув в 2000 году «НАК» Кес стал директором футбольной академии амстердамского «Аякса». Звамборн совместно с Хансом Вестерхофом разработал отличную молодёжную программу для «Аякса».
В 2002 году английский «Сандерленд» смог договориться с «Аяксом» об переходе Звамборна в их клуб. Как заявил Кес: «Моя цель в Сандерленде заключается в том, чтобы создать очень похожую структуру как в Аяксе». «Сандерленд» вложил значительные денежные средства в молодёжную академию, а приглашение Звамборна на пост её директора являлся заключительным этапом.
Спустя 15 месяцев Звамборн покинул пост директора молодёжной академии «Сандерленда» по взаимному согласию. Вице-председатель «Сандерленда» Джон Фикклинг заявил: «Кес проделал отличную в нашем клубе по преобразованию и модернизации системы нашей академии». В том же году Кес стал техническим директором клуба Виллем II.