Клара Хаскил родилась в Бухаресте, одной из трёх дочерей в сефардской семье. Её отец Исаак Хаскил (ум. 1899) перебрался в Бухарест (где он женился на Берте Москона) незадолго до её рождения из соседней Бессарабии. Занималась музыкой с трехлетнего возраста, училась игре на фортепиано и скрипке в Вене и Париже. В 1927-1940 жила во Франции, после 1942 — в Швейцарии (г. Веве в кантоне Во), в 1949 приняла швейцарское гражданство.
Начав концертировать в 1910 в Италии и Швейцарии, из-за многочисленных болезней и крайней застенчивости, острого страха перед сценой Хаскил не сделала яркой карьеры. Прожила жизнь в бедности, лишь после Второй мировой войны приобрела достойную ее широкую известность, переломным моментом здесь стал цикл концертных выступлений 1949 в Нидерландах. Прославилась исполнением Моцарта и композиторов-романтиков (Бетховен, Шуман, Шуберт, Шопен, Брамс, Рахманинов). Выступала в ансамбле с Джордже Энеску, Эженом Изаи, Пабло Казальсом, Гезой Андой, Артюром Грюмьо, с дирижерами Ансельмом Ансерме, Леопольдом Стоковским, Шарлем Мюншем, Гербертом фон Караяном, дружила с Дину Липатти.
Скончалась после тяжёлых травм головы, полученных при падении с лестницы Брюссельского вокзала. Похоронена в Париже на кладбище Монпарнас. С 1963 в Веве ежегодно проходит Международный конкурс пианистов имени Клары Хаскил, здесь ей установлен памятник, в её честь названа улица.