Клаудиа Коде-Кильш начала играть в теннис в 5 лет; в профессионалы перешла 1 января 1980 года. В том же году выиграла свой первый профессиональный турнир (в австрийском Китцбюэле в паре с Евой Пфафф). В 1981 году она выигрывает три турнира в одиночном разряде: в Торонто, Гштааде и Кицбюэле, где побеждает теннисисток, посеянных под первым и вторым номерами, а на турнире в Окленде в первом туре побеждает победительницу двух предыдущих лет Мартину Навратилову.
В 1982 году в паре с Пфафф Коде-Кильш выходит в свой первый финал турнира Большого шлема в Австралии; там они проигрывают безоговорочным фавориткам, Мартине Навратиловой и Пэм Шрайвер. С этого же года Коде-Кильш выступает за сборную ФРГ в Кубке Федерации и в первый же год доходит с ней до финала, где немки уступают сборной США. Аналогичного успеха команда добивается и год спустя, в финале проиграв сборной Чехословакии. К 1984 году она прочно занимает место среди сильнейших теннисисток мира, регулярно побеждая соперниц из первой десятки мирового рейтинга. С середины этого года она начинает выступать в паре с Хеленой Суковой, и за четыре последующих года «башни-близнецы», как их прозвали за рост, выигрывают 14 турниров в парном разряде, в том числе два турнира Большого шлема.
В 1985 году Коде-Кильш достигает своего пика в одиночном разряде, пробившись в полуфиналы Открытого чемпионата США и Открытого чемпионата Австралии (в обоих турнирах уступила Крис Эверт) и поднявшись до четвёртого места в рейтинге. Она также выигрывает Открытый чемпионат США в паре с Суковой. Всего за этот год Коде-Кильш и Сукова играют в финале 11 турниров в парном разряде, в том числе также в чемпионатах Франции и Австралии, и выигрывают четыре из них. Они впервые вместе попадают в финал итогового турнира WTA (Коде-Кильш играла там также в 1983 году в паре с Пфафф) и уступают Навратиловой и Шрайвер; это их первый из четырёх подряд финалов года.
В 1987 году Коде-Кильш выигрывает свой второй турнир Большого шлема, на этот раз Уимблдонский турнир, и снова в паре с Суковой. Она выигрывает ещё три турнира в парном разряде с Суковой и один с Яной Новотной, а в июле вместе со Штеффи Граф завоёвывает для ФРГ Кубок Федерации. И в полуфинале, и в финале она уступает своим соперницам (Суковой и Шрайвер) в одиночных встречах, но выигрывает в парах. Матч западногерманской пары Граф/Коде-Кильш и американской пары Шрайвер/Эверт получился особенно напряжённым: немки проигрывали по ходу 1-6, 0-4, но сумели переломить ход игры и победить в трёх сетах, завоевав кубок. В августе того же года Коде-Кильш занимает высшую в своей карьере третью строчку в рейтинге теннисисток, выступающих в парном разряде. В начале года они с Суковой также выиграли парный чемпионат WTA.
В 1988 году Коде-Кильш пропустила Уимблдонский турнир из-за операции и вернулась на корт только к Открытому чемпионату США. За этот год они с Суковой выходят в финал в семи турнирах, но не выигрывают ни одного. Единственную победу в парном разряде Коде-Кильш одерживает под занавес сезона с соотечественницей Сильвией Ханикой на турнире V категории в Аделаиде. Она также побеждает в одном турнире в одиночном разряде, а на олимпийском турнире в Сеуле, первом после долгого перерыва, завоёвывает «бронзу» в паре с Граф: в полуфинале их остановила чешская пара Новотна—Сукова, а матч за третье место не игрался и бронзовые медали вручались обеим парам, оступившимся в полуфинале.
Расставшись в 1988 году с Суковой, Коде-Кильш в дальнейшем меняет несколько партнёрш, среди которых Ханика, Мери-Джо Фернандес, Наталья Зверева и Анке Хубер, но ни с кем из них уже не добивается таких успехов. Свой последний турнир в одиночном разряде она выигрывает в 1990 году (в Кицбюэле), последний турнир в парах — в феврале 1992 года (Matrix Essential Evert Cup, со Стефани Ре), в конце 1992 года получает травму бедра и весь 1993 год не выступает. Свой последний турнир WTA она проводит в апреле 1994 года. В 1996 году она вновь вышла на корт в паре со своей младшей сестрой Катрин и даже выиграла турнир под эгидой Международной федерации тенниса (ITF) в Португалии, но возвращение оказалось кратковременным.