Борги начал свою карьеру в начале 80-х в клубе «Архентинос Хуниорс». Его считали восходящей аргентинской звездой, сравнивали по таланту с Диего Марадоной.
Отличная игра Борги в финале Межконтинентального кубка 1985 года произвела впечатление на президента «Милана» Сильвио Берлускони, и через полтора года, в 1987 году, Борхи оказался в миланском клубе. Место Борги на поле планировалось рядом с двумя голландцами — Марко ван Бастеном и Руудом Гуллитом, однако тренер Арриго Сакки, несколькими месяцами ранее завоевавший Скудетто, потребовал подписания ещё одного голландца — Франка Райкаарда, а поскольку по тогдашним правилам на поле разрешалось присутствовать лишь трём иностранцам, то Борхи отправился в аренду в «Комо». «Сампдория» хотела купить у «Милана» Борги, но Берлускони отказал, не желая продавать отличного футболиста прямому конкуренту.
Сыграв в сезоне 1987—1988 только семь раз за «Комо», Борги вернулся в «Милан», но закрепиться в команде не смог и отправился в швейцарский «Ксамакс», прежде чем окончательно уехать из Европы в Южную Америку. Поиграв в Аргентине, Бразилии и Мексике, Борги закончил карьеру в Чили в 1999 году. Также в Чили он начал свою карьеру тренера, выиграв чемпионат Чили и дойдя до финала Южноамериканского кубка в 2006 году, по окончании которого его назвали тренером года в Южной Америке. В 2008 году Борги ненадолго возглавил «Индепендьенте».
Любители:
Профессионалы: