Клаудио родился в семье футболиста, победителя Кубка Америки 1979 года нападающего сборной Парагвая Эухенио Мореля. Однако, в отличие от отца, Клаудио Марсело решил стать защитником.
Морель Родригес — один из самых титулованных футболистов в современном футболе. В составе двух аргентинских клубов, за которые он выступал, он выиграл все возможные трофеи в современном южноамериканском футболе. С обоими клубами он становился чемпионом Аргентины. В 2007 году Морель Родригес принял участие в составе сборной Парагвая в Кубке Америки. По итогам опроса, Морель Родригес стал вторым футболистом Южной Америки 2007 года, уступив лишь соотечественнику Сальвадору Кабаньясу. Также вошёл в символическую сборную Южной Америки 2007 года.
С 2010 года Морель Родригес выступает за клуб «Депортиво» из города Ла-Корунья.