Клаудио Каниджа родился в 1967 году в небольшом городке Эндерсон провинции Буэнос-Айрес, примерно в 400 км от столицы. Начинал играть в «Ривер Плейте». В 1988 году нападающий перебрался в Италию, где выступал сначала год за «Верону», не очень ярко, а после три сезона за клуб «Аталанта», достаточно успешно. В 1992 Каниджа переходит в «Рому». 21 марта 1993 года после домашнего матча с «Наполи», завершившимся со счётом 1:1, в анализе пробы на допинг у аргентинца были обнаружены следы кокаина. Клаудио Каниджа был отлучён от футбола на 13 месяцев.
После завершения срока дисквалификации Каниджа год отыграл в Португалии, а затем вернулся на родину, в стан «Боки Хуниорс», заклятых врагов клуба, в котором он начинал свою карьеру. Здесь он играл в связке со своим другом Диего Марадоной.
В 1999 году, поддавшись уговорам жены, продолжавшей жить в Европе, и недовольный непопаданием в состав «Боки» Каниджа возвращается в Италию, в «Аталанту», находившийся в то время в серии Б, где проводит весьма посредственный для себя сезон, в 17 играх отличившись всего один раз, но клуб завоевывает право перехода в высшую лигу. В октябре 2000 Каниджа неожиданно для многих оказывается в шотландском «Данди». Клуб платит аргентинцу 15 000 фунтов в неделю, что делает его самым высокооплачиваемым игроком в команде. Летом 2001 года в противоборстве с «Селтиком» и клубами английской премьер-лиги нападающего приобретает «Рейнджерс». За два сезона в Глазго Каниджа становится чемпионом Шотландии, трижды выигрывал различные кубки. Несмотря на обещание оставить Каниджу в составе в случае победы в чемпионате, руководство «Рейнджерс» выставило аргентинца на продажу. Завершил свою карьеру Каниджа в Катаре.
Свой первый матч за сборную Каниджа провёл 10 июня 1987 года в матче против сборной Италии. На чемпионате мира 1990 года два гола Каниджы в 1/8 и в полуфинале позволили пробиться сборной Аргентине в финал, где сам Клаудио не принял участие из-за полученной в полуфинальном поединке c итальянцами жёлтой карточки. В 1994 году Каниджа дважды отличился в групповом матче с Нигерией, но дальше 1/8 подавленная психологически дисквалификацией Марадоны сборная не прошла.
После ЧМ-94 сборную возглавил Даниэль Пассарелла, сразу же озвучивший жёсткие требования к внешнему виду игроков. Отказ Каниджы укоротить причёску надолго отлучил игрока от сборной. Казалось, что Каниджа больше не сыграет за национальную команду, но вдохновенная игра в составе «Рейнджерс» сама собой определила его вызов на чемпионат мира 2002 года. Правда, на том турнире Каниджа так и не сыграл ни минуты, но отличился, заработав удаление со скамейки запасных в третьем групповом матче против Швеции за нелестные высказывания в адрес судьи из ОАЭ Али Буджсаима. .