Прозвище «Император» Суарес получил в первом своём клубе «УНАМ Пумас», где он играл в 1988—1996 гг. Двукратный чемпион Мексики: 1990/91 (в составе «УНАМ»), 1997 (турнир Verano, в составе «Гвадалахары»).
Провёл за сборную Мексики 178 матчей в 1992—2006 гг., забил 6 мячей. Участник чемпионатов мира 1994, 1998 и 2006 годов. По количеству сыгранных матчей за сборную занимает 2-е место в мире (и первое в мире среди полевых игроков), уступая только саудовскому вратарю Мохамеду ад-Деайя, проведшему 181 матч.
Хорошо играет позиционно, обладает неплохой скоростью. Кумиром Суареса является мексиканский форвард Уго Санчес. Клаудио женат, имеет троих детей.
25 марта 2010 года объявил о завершении игровой карьеры.