Эгге родился 19 июля 1906 года в городе Грансхерад (Телемарк). учился игре на органе до 1929 года у А. Санволла, фортепиано у Н. Ларсена и композиции у Ф. Валена в консерватории в Осло. В 1937-38 годах совершенствовался по композиции в Высшей музыкальной школе в Берлине под руководством В. Гмейндля.
В 1933-45 годах преподавал пение в высших учебных заведениях Осло. Эгге был редактором в журнале «Tonekunst» в 1935-38 годах. С 1945 года трудился в основном в печати в качестве музыкального критика в печати (в том числе в газете «Arbeiderbladet»).
В 1946 году основал Союз композиторов скандинавских стран и был его председателем до 1948 года. В том же году стал председателем Союза норвежских композиторов (на должности был до 1972 года, с перерывами) и представителем Норвегии в Международном музыкальном совете ЮНЕСКО до 1949 года. Скончался 7 марта 1979 года в Осло.
Эгге — один из ведущих норвежских композиторов XX века. Его зажигательная народная музыка свидетельствует о возрождении норвежской музыки в ХХ веке. В 30-х годах использовал в своих сочинениях национальный музыкальный фольклор. Некоторые произведения Эгге близки к неоклассицизму (например, три фантазии). Сочинения времён Второй мировой войны пропитаны патриотизмом и антивоенным настроением. В их числе — «Норвежская песнь» (1941), «Скалы Норвегии» (1941), 1-я симфония, поcвящённая памяти погибших норвежских моряков (1942). В 50-х годах Эгге обратился к додекафонии. В музыке последнего периода Эгге употреблял квинты, специфические тетрахордные обороты и интервалы тритона, свидетельствующие о фольклорном начале в его поздних сочинениях.
и др.