Родился в семейном поместье Хаус Дётцинген. Его полным именем при рождении было Клаус-Георг Вильгельм Отто Фридрих Герд фон Амсберг, нем. Klaus-Georg Wilhelm Otto Friedrich Gerd von Amsberg. С 1928 года до начала Второй мировой войны его отец жил в Танганьике. Клаус вырос в поместье своего деда в Нижней Саксонии, но в 1936—1938 жил в Танганьике, где обучался в интернате. После возвращения в Германию он состоял в Гитлерюгенде, а в 1944 году был призван в вермахт. В марте 1945 года Клаус был направлен в 90-ю лёгкую пехотную дивизию в Италию, но не успев принять участие в боевых действиях, попал в плен к частям армии США в Мерано. После окончания войны Клаус фон Армсберг закончил школу в Люнебурге, и, получив высшее юридическое образование в Гамбурге, начал работать в дипломатических структурах ФРГ, находясь в Доминиканской Республике и Кот-д'Ивуаре. В начале 1960-х он был переведён в Бонн.
Летом 1964 фон Армсберг познакомился на приёме в честь свадьбы княжны Татьяны Сайн-Витгенштейн-Берлебургской и ландграфа Морица Гессенского с наследной принцессой Нидерландов Беатрикс. 10 марта 1966 в церкви Вестеркерк, несмотря на протесты многих голландцев, связанные с национальностью Клауса и его членством в гитлерюгенде, состоялась свадьба. Впрочем, впоследствии Клаус смог приобрести популярность у новых подданных. Он активно занимался общественной деятельностью. После того, как Беатрикс в 1980 вступила на престол, он получил титул принца-консорта. У Беатрикс и Клауса было трое сыновей:
Ближе к концу жизни Клаус стал страдать от сильной депрессии, рака и болезни Паркинсона. В октябре 2002 он скончался и был похоронен в делфтской Ньюве Керк. Это были первые государственные похороны после 1962, когда была погребена королева Вильгельмина.