Клавдия Васильевна Топчиева родилась в станице Таубевская (ныне город Морозовск Ростовской области) в семье рабочего. В 1929 году поступила на химический факультет Московского государственного университета.
Обучение в МГУ, аспирантуру и работу в лаборатории кинетики и катализа совмещала с игрой в волейбол, считалась одной из лучших волейболисток довоенного времени. В составе сборной Москвы четырежды (в 1933—1936 годах) становилась победительницей Всесоюзных волейбольных праздников — чемпионатов СССР среди команд городов, выступала за московский «Локомотив», в составе которого выиграла «золото» чемпионата СССР 1946 года,.
В 1938 году Клавдия Топчиева вместе с Ниной Семёновой и Еленой Войт (впоследствии доктором технических наук, профессором МАИ) была в числе первых волейболисток, удостоенных звания мастера спорта СССР.
В том же году защитила кандидатскую диссертацию, а в 1953-м стала доктором химических наук. С 1952 года заведовала лабораторией кинетики и катализа химического факультета МГУ, в 1954 году получила звание профессора кафедры физической химии, в 1956—1960 годах работала в должности декана химического факультета МГУ.
Основной областью научных исследований Клавдии Васильевны Топчиевой являлось изучение связи между строением и каталитической активностью цеолитов, применяемых в процессах нефтепереработки. Топчиевой и созданной ею научной школой проведены фундаментальные работы по изучению природы активных центров алюмосиликатных катализаторов, разработаны методы модификации структуры цеолитов, направленные на повышение их каталитической активности.
Учениками Топчиевой являются около 40 кандидатов и четыре доктора наук. Она была членом Советов по катализу при Академии наук СССР и Государственном комитете Совета Министров СССР по науке и технике. Награждена орденами Ленина и Трудового Красного Знамени.