Дэйнс родилась в Манхэттене, в семье Кристофера Дэйнса — специалиста по компьютерам, и Карлы Дэйнс — художника и промдизайнера, которая впоследствии была менеджером Клэр. Клэр описывает себя как «WASP до мозга костей»: её дед по отцовской линии, Гибсон Дэйнс, был деканом художественно-архитектурной школы в Йельском университете. У неё есть брат, Аса Дэйнс, который закончил Oberlin College и работает адвокатом на юридическую компанию «Paul Hastings».
Дэйнс посещала Dalton School и Professional Performing Arts School в Нью-Йорке, затем привилегированную частную школу Lyc?e Fran?ais de Los Angeles в Лос-Анджелесе. В 1998 Дэйнс поступает в Йельский университет. После обучения в течение двух лет на психологическом отделении, она оставила университет, чтобы сосредоточиться на актёрской карьере.
Возможно, самая известная роль Дэйнс — Анджела Чейз в телесериале «Моя так называемая жизнь» 1994 года, за которую она получила премию «Золотой глобус» и номинировалась на «Эмми». Затем — роль Джульетты в 1996 в фильме «Ромео + Джульетта». Её первая роль в анимационном фильме — английская версия «Принцессы Мононоке» в 1999. В том же году она играла одну из первых ролей в «Разрушенном дворце» наряду с Кейт Бекинсейл и Биллом Пуллманом.
Затем она играла роль дочери Мерил Стрип в номинировавшемся на «Оскар» фильме «Часы», вместе с Николь Кидман, Джулианной Мур и Эдом Харрисом. В следующем году она снималась в фильмах «Терминатор 3: Восстание машин» и «Красота по-английски». Весьма критично оценивалась её работа в фильмах 2005 года «Продавщица» и «Привет семье». В 2007 году Дэйнс появилась в фэнтэзи «Звёздная пыль» c Мишель Пфайффер и Робертом де Ниро и в триллере «Паства» с Ричардом Гиром.
Дэйнс играла в различных театральных постановках, в «Happiness», «Punk Ballet» и «Kids On Stage» она поставила свой собственный танец. Также, она написала предисловие к книге Нила Геймана «Death: The Time of Your Life». В сентябре 2007 года Дэйнс дебютировала на Бродвее в пьесе Бернарда Шоу «Пигмалион» в роли Элизы Дулитл.
В 2010 году Дэйнс снялась в телефильме HBO «Тэмпл Грандин» за роль в котором она получила свою первую в карьере премию «Эмми» а также была номинирована на премию «Гильдии киноактёров США» и «Золотой глобус». Фильм получил массу положительных отзывов, а Тэмпл Грандин собственной персоной высоко оценила игру актрисы.
Позже в 2010 году актриса получила роль в новом телесериале канала Showtime под названием «Чужой среди своих», в котором играет агента ЦРУ.
В течение шести лет Клэр и австралийский певец Бен Ли встречались, но в 2003 году их отношения завершились. Некоторое время она встречалась с коллегой по «Красоте по-английски» и «Принцессе Мононоке» Билли Крадапом, но в декабре 2006 они разошлись. На сегодняшний день является супругой британского актера Хью Дэнси.