Всю карьеру выступал за «Монако», с которым дважды становился чемпионом Франции, трижды выигрывал Кубок, единожды брал Суперкубок, а также дошёл до финала Кубка кубков 1991/92.
Закончив играть, в 1996 году Пюэль возглавил дубль «Монако». В январе 1999 года он приступил к работе в качестве главного тренера с основной командой клуба. В следующем же сезоне он привёл команду к чемпионству, однако за этим последовало 11-е место в турнирной таблице следующего чемпионата и проигранный финал Кубка лиги. Летом 2001 года его контракт не был продлён и после 24 лет пребывания в клубе, Клод ушёл из него.
Летом 2002 года он возглавил «Лилль». С новой командой Пюэль смог финишировать по разу вторым (2004/05) и треьим (2005/06) в чемпионской гонке.
В сезоне 2008/09 возглавлил «Олимпик» из Лиона и стал первым тренером, который не смог привести клуб к чемпионству с сезона 2001/02, довольствовавшись лишь третьим местом. Тем не менее, в Лиге чемпионов 2009/10 Клод дошёл со своими подопечными до полуфинала, где уступил по сумме двух матчей «Баварии» (4:0).
20 июня 2011 года по окончании сезона 2010/11 руководство клуба отправило Клода Пюэля в отставку.
Как игрока «Монако»:
Как тренера «Монако»:
Как тренера «Лилля»:
Как тренера лионского «Олимпика»: