Из семьи евреев-ашкенази, несколько веков жившей в Эльзасе (как Виже напишет позднее, «я – эльзасский еврей, а значит – вдвойне еврей и вдвойне эльзасец»). В доме говорили на еврейско-эльзасском наречии. В 1937 поступил в Страсбургский университет. Учебу прервала война, семья переселилась в Тулузу. В 1940-1942 Клод участвовал в еврейском Сопротивлении, входил в подпольную группу Бней-Давид. Начал печататься, взял псевдоним (от французского Vie, j’ai – я жив). В обстановке усилившегося антисемитизма и прямых полицейских гонений в 1943 вместе с матерью перебрался через Португалию в США. Служил официантом, брался за любую работу. В 1947 защитил диссертацию по литературе в университете штата Огайо, женился. Преподавал литературу в различных университетах США. Первая книга стихов вышла в 1950. В 1959 вернулся во Францию, поселился в Париже. При поддержке Гершома Шолема в 1960 переехал в Израиль. Жил там до 2000, до 1983 преподавал литературу в Иерусалимском университете. В 2001 вернулся во Францию.
Автор метафизической лирики, эссе о наследии иудаизма, духовных исканиях литературы ХХ в. Переводчик Рильке, Т.С.Элиота, И.Голля и др.
Книги Виже переведены на английский и немецкий языки. Премия Фемина за литературную критику (1979), Большая поэтическая премия Сообщества писателей Франции (1987), премия Еврейского французского фонда (1994), Большая поэтическая премия Французской Академии (1996), премия Общества иудео-христианской дружбы Франции (2006), другие французские, немецкие и международные награды.
В 2000 Культурный центр Клода Виже открыт в его родном городе.