Родилась в Ле-Крезо, Франция. Эньере изучала медицину на факультете медицины в университете (фр. Paris-Cochin) и факультете наук университета Paris-VII. Она получила сертификаты в области биологии и спортивной медицины (1981), авиационной и космической медицины (1982) и ревматологии (1984). В 1986 году она получила диплом по биомеханике и физиологии движений. Она защитила кандидатскую диссертацию по неврологии в 1992 году.
Эньере была резервным членом экипажа в 1993 году в миссии Альтаир на станцию «Мир», в которой принял участие её будущий муж Жан-Пьер Эньере. В честь их бракосочетания назван астероид 135268 Эньере. Эньере провела на космической станции «Мир» 16 дней в 1996 году в рамках российско-французской миссии Кассиопея. В 2001 году Эньере стала первой европейской женщиной, посетившей Международную космическую станцию, в рамках миссии Андромеда. Вышла в отставку из ЕКА 18 июня 2002 года. Провела на орбите — 25 дней 14 часов 22 минуты.
После завершения карьеры астронавта Эньере занялась французской политикой. Она стала министром по европейским делам в правительстве Жан-Пьер Раффарена и заместителем министра по вопросам научных исследований и новых технологий.
23 декабря 2008 Клоди Эньере была госпитализирована в Париже после попытки отравиться большим количеством медикаментов.