Окончил Копенгагенскую консерваторию (1916) как органист и Копенгагенский университет (1917) как музыковед (ученик Ангула Хаммериха), совершенствовался у Гвидо Адлера в Венском университете. Изучал также композицию под руководством Карла Нильсена и в дальнейшем был пропагандистом и популяризатором его творчества. С 1917 г. работал в Копенгагене органистом, с 1920 г. преподавал теорию музыки в консерватории. Был активным участником Международного музыковедческого общества со времени его создания в 1927 году, в 1931—1954 гг. редактировал журнал общества «Acta musicologica», в 1949—1952 гг. занимал пост президента Общества. С 1947 г. профессор Орхусского университета, в 1950 г. основал при университете Институт музыковедения и руководил им до 1957 г. В 1957 г. вышел в отставку и поселился в Италии.
Как музыковед Еппесен известен, прежде всего, трудами по истории полифонической музыки XVI века. Его докторская диссертация «Стиль Палестрины, с особым вниманием к диссонансам» (дат. Palestrinastil med s?rligt henblik paa Dissonansbehandlingen; 1923) была опубликована в немецком (1925) и английском (1927, переиздания 1946, 1971) переводах, как и последовавшая монография «Контрапункт (Вокальная полифония)» (дат. Kontrapunkt (Vokalpolyfoni); 1930). Собственное композиторское творчество Еппесена включает, главным образом, хоровые сочинения, среди которых Pеформационная кантата (дат. Reformationskantate; 1936), посвящённая памяти жертв Второй мировой войны оратория «Датский Te Deum» (1942), «Месса королевы Дагмары» (дат. Dronning Dagmar Messe; 1945), кантата Oрхусского университета (1946), хоровые циклы на слова Уильяма Шекспира и Уолта Уитмена. Еппесену также принадлежит опера «Розаура» (дат. Rosaura; 1950, либретто композитора по мотивам Карло Гольдони), симфония (1946), концерт для валторны c оркестром (1942), «Маленькое летнее трио» для флейты, виолончели и фортепиано (1941), скрипичная соната (1919) и др.
Действительный член Kоролевской Датской академии наук (1943).