Князь Александр Борисович Куракин родился в семье князя Бориса Александровича Куракина и Екатерины Алексеевны, урождённой Мусиной Пушкиной. Имел двух братьев: Ивана (1876—1896) и Бориса (1880—1886). По линии отца — праправнук канцлера российских орденов Алексея Борисовича Куракина. Двоюродный брат князей Михаила и Ивана Куракиных.
Образование получил в Харьковском и Московском университетах. В 1896 вступил вольноопределяющимся в лейб-гвардии Преображенский полк, в 1902 в чине поручика зачислен в запас. В 1902—1914 годах избирался уездным предводителем дворянства Малоархангельского уезда Орловской губернии. Занимал пост председателя Орловского отделения «Союза 17 октября». Избран депутатом Государственной думы II созыва, входил во фракцию октябристов. С 1911 года — цереймониймейстер. В 1914—1917 годах — орловский губернский предводитель дворянства.
В 1914 году после начала Первой мировой войны занял посты председателя Комитета помощи беженцам и главноуполномоченного Российского общества Красного Креста. В 1916 году получил чин действительного статского советника.
В 1920 году арестован, освобождён в 1922 году. Вновь арестован в сентябре 1923 года и приговорён к трём годам ссылки, которую отбывал сначала в Усть-Сысольске, а позднее — в Вятке. После освобождения в 1926 году некоторое время жил в Вятке, но в октябре 1932 годы выехал к семье, проживавшей в Тарусе. Работал старшим бухгалтером в артели вышивальщиц. Вновь арестован в апреле 1933 года, освобождён и вскоре эмигрировал с семьёй во Францию.
В 1908 году князь Александр Борисович Куракин женился на Софии Александровне Оливе (1889—1975). Супруги имели дочь: