Князь Александр Борисович Куракин родился в семье князя Бориса Ивановича (1676—1727) и его первой супруги Ксении Фёдоровны, урождённой Лопухиной (1677—1698). По линии матери приходился двоюродным братом царевичу Алексею Петровичу. В малолетнем возрасте лишился матери.
С детских лет сопровождал своего отца в заграничных поездках, где получил образование и изучил несколько европейских языков. В 1722 году получил чин камер-юнкера и был назначен советником посольства в Гааге. Однако уже в мае 1722 отправлен к французскому двору, где действовал совместно со своим отцом, сопровождавшим его как частное лицо. Куракиным удалось добиться содействия Франции в сохранении мира с Османской империей во время персидского похода. В 1724 году Б. И. Куракин назначен чрезвычайным и полномочным послом во Франции, А. Б. Куракин назначен представителем при французском дворе с пожалованием чина камергера (15.5.1724). Перед дипломатами была поставлена задача добиться согласия на брак царевны Елизаветы с королем Людовиком. Однако этот проект не удался. Оказывал покровительство учившемуся за границей В. К. Тредиаковскому, который посвятил ему свой перевод поэмы «Езда на остров Любви». После смерти отца в 1727 году назначен послом в Париже. Эрнст Миних в своих «Записках» писал:
В Париже застали мы князя Александра Борисовича Куракина, который по смерти отца своего оставлен во Франции для дел, до России касающихся, и ожидал токмо приезда графа Головкина, дабы самому отправиться в Москву.
Вернувшись в Россию, занял высокое положение при дворе, будучи двоюродным дядей императора Петра II. Принял участие в интригах, которые способствовали падению Меншикова.
Во время царствования Анны Иоанновны стал сторонником её фаворита Бирона, оказывая поддержку в борьбе в Волынским. В 1736 году назначен заведующим Дворцовой конюшенной канцелярией. В этом же году был включён в состав Генерального суда над князем Д. М. Голицыным. В 1739 году был назначен послом в Берлин, однако должность не принял.
Во время подписания завещания императрицей Анной Иоанновной первым выдвинул кандидатуру Э. Бирона в качестве регента при малолетнем императоре Иоанне Антоновиче. При правительнице Анне Леопольдовне получил Орден Святого Андрея Первозванного, позднее на некоторое время попал в опалу, но указом от 24 апреля 1741 был прощен. С 12 декабря 1741 года — сенатор.
26 апреля 1730 года князь Александр Борисович Куракин женился на Александре Ивановне Паниной (1711—1786). В браке родились: