Родился 23 июня 1953 года в столице Казахской ССР городе Алма-Ате (ныне Алматы). Окончил среднюю школу в городе Благовещенске.
В 1974 году окончил Дальневосточное высшее общевойсковое командное училище имени К. К. Рокоссовского;
С 1974 по 1985 годы проходил службу в 61-ой отдельном Киркенесском Краснознамённом полку МП, затем в 61-ой отдельной Краснознамённой бригаде МП (Северный флот). Командовал взводом, ротой, был начальником штаба и командиром 3 Десантно-штурмового батальона(в/ч 81285).
В 1988 году окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе;
С 1988 года был начальником штаба и заместителем командира отдельной 336-й гвардейской бригады морской пехоты дважды Краснознамённого Балтийского флота;
В 1990 году назначен командиром отдельной 336-й гвардейской бригады морской пехоты дважды Краснознамённого Балтийского флота;
За мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания, Указом Президента Российской Федерации от 9 августа 1995 года гвардии полковнику Кочешкову Евгению Николаевичу присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда» (№ 193)
В 1997 году окончил Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил Российской Федерации;
С 1997 года — начальник штаба береговых войск Военно-Морского флота Российской Федерации;
В 1999 году полковнику Евгению Кочешкову присвоено воинское звание генерал-майор.
Скоропостижно скончался в Москве. Похоронен в городе-герое Москве на Троекуровском кладбище.
Именем Е. Н. Кочешкова назван малый десантный корабль на воздушной подушке дважды Краснознамённого Балтийского флота, буксир ЗАО "Портовый флот" порта Санкт-Петербург. На Аллее Героев на территории 336-й бригады морской пехоты установлен бюст Героя.