В 1957 г. окончил Московский нефтяной институт и был направлен на работу во ВНИГНИ, где прошел путь от геолога до генерального директора института (с 1989 г. до своей смерти).
В 1968 г. ему присуждена ученая степень кандидата геолого-минералогических наук, в 1985 г. — ученая степень доктора геолого-минералогических наук, в 2002 г. — ученое звание профессора.
В своей научной деятельности:
На основе исследований ученого и при его непосредственном участии были открыты:
В последние годы осуществлял научно-методическое и организационное руководство по уточнению количественной и геолого-экономической оценок ресурсов углеводородного сырья на территории Российской Федерации и ее континентальном шельфе.
Автор 80 научных трудов, в том числе 4 монографии и 3 изобретения. Являлся членом экспертного совета при Правительстве Российской Федерации, главным редактором журнала «Геология нефти и газа», составителем и редактором нескольких изданий Карт нефтегазоносности Российской Федерации, возглавлял разработку Федеральных программ по воспроизводству минерально-сырьевой базы (по разделу нефть и газ).
В 1998 г. за работу по оценке нефтегазового потенциала осадочных бассейнов мира К. А. Клещеву присуждена Государственная премия РФ в области науки и техники.
«Отличник разведки недр» (1985 г.), памятным знаком «300 лет горно-геологической службе России»(2000 г.), Почетная грамота Министерства природных ресурсов РФ (2004 г.). За добросовестное выполнение служебных обязанностей и по итогам работы за 2005 год занесен на Доску почета Министерства природных ресурсов России.