Родился в 1872 году в Феодосии в семье мелкого служащего. В 1880 году поступил в классическую гимназию, а с 1881 года воспитывался в семье феодосийского фабриканта Ивана Егоровича Шмита. Учился сначала в Феодосии у Адольфа Фесслера, в мастерской Ивана Константиновича Айвазовского, но безуспешно. После этого поступил в Петербургскую Академию художеств, учился с 1891 по 1895 год в мастерской Архипа Ивановича Куинджи. В 1890 году ездил на этюды на Волгу, в 1897 вместе с Куинджи и его учениками в Германию, Францию и Австрию. Там познакомился с современным европейским искусством. Наибольшее впечатление, по свидетельствам, на Богаевского произвели произведения художников Сецессиона в Вене, а также Арнольда Бёклина. Начиная с 1900 года, Богаевский выставляется, сначала в Петербурге, затем в Венеции, Мюнхене (Сецессион), Париже и Москве. В 1904 году вступил в Новое общество художников, затем был призван на военную службу, служил в Керченской крепости, в 1906 году демобилизовался и женился на Жозефине Густавовне Дуранте. В этом же году Богаевский построил в Феодосии мастерскую, в которой потом работал до конца жизни. В 1908 году путешествовал по Германии, в 1909 по Италии и Греции, знакомился с искусством старых мастеров. В 1910 году избран членом Московского Товарищества Художников. В том же году вышла книга стихов Максимилиана Волошина «Годы странствий», иллюстрированная рисунками Богаевского. В 1911—1914 годах участвовал в выставках «Мира искусства». В 1912 году выполнил самую известную свою работу — три панно для особняка Рябушинского в Москве. В 1914 году снова был призван в армию, служил около Севастополя, демобилизован в 1918 году. После революции остался в Феодосии, по-прежнему участвовал в художественных выставках. В 1923 году работал над панно для Сельскохозяйственной Выставки в Москве. В 1933 году получил звание заслуженного деятеля искусств РСФСР. В 1936—1939 году работал в Тарусе. В 1941 году оказался в оккупации, погиб в 1943 году при бомбардировке Феодосии советской авиацией. Похоронен в Феодосии на городском кладбище (старом).
По свидетельствам современников, Богаевский был замкнутым, добросовестным, мирным и чрезвычайно наивным человеком. Ближайшие друзья — художник Константин Кандауров и Максимилиан Волошин.
В 1902—1903 годах художник создал серию картин по мотивам хорошо ему знакомых крымских пейзажей («Старый Крым», «Древняя крепость») . После этого он долгое время писал пейзажи, не привязанные к конкретным местам, в которых заметно влияние Бёклина и Климта. Они характерны совершенно особым освещением, происходящим из нескольких цветовых пятен, и экспрессивным небом («Последние лучи»). Эти черты не получили никакого продолжения в русской живописи; кроме Климта, параллели в западноевропейской живописи неожиданно находятся у Джованни Сегантини. Очень характерны для этого периода Богаевского солнце с расходящимися лучами и меловые скалы. Под влиянием Волошина Богаевский пишет так называемый «Киммерийский цикл» картин.
С 1906 года, после долгой изоляции на военной службе в Керчи, в творчестве Богаевского появляются философские мотивы, связанные с одиночеством и малостью человека («Звезда Полынь», «Солнце», «Генуэзская крепость»). Как известно, стихотворение Волошина «Полынь» посвящено Богаевскому. Гармония снова появляется в 1907 и 1908 годах («Южная страна. Пещерный город»).
После путешествия в Европу, начиная с 1910 года, Богаевский пишет классические пейзажи, явно под впечатлением от немецких (Дюрер, Альтдорфер) и итальянских (Мантенья) мастеров эпохи Возрождения, а также несомненным влиянием Клода Лоррена, у которого Богаевский (как раньше Тернер) позаимствовал идею освещения («Воспоминание о Мантенье», «Итальянский пейзаж», «Классический пейзаж», «Киммерийская область», «Корабли»). В 1912 году по заказу Рябушинского Богаевский выполнил три панно для его московского особняка.
Те же мотивы прослеживаются и в произведениях Богаевского 1920-х и 1930-х годов («Феодосия», «Крымский пейзаж», «Старая гавань», «Вечер у моря»). Его творчество прочно вошло в наследие художников Киммерийской школы живописи.
В 1920-е годы художник пробовал обращаться к теме индустриального строительства («Днепрострой», «Порт воображаемого города») с явным намерением создать художественный образ города будущего.
Консульская Башня в Судаке. 1903. Феодосийская картинная галерея имени И.К.Айвазовского
Старый Крым. 1903. Саратовский художественный музей
Тропический пейзаж. 1906. Государственный Русский Музей
Берег моря. 1907. Государственная Третьяковская Галерея
Южная страна. Пещерный город. 1908. Севастопольский художественный музей имени Крошицкого
Пальмы. 1908. Севастопольский художественный музей
Утро. 1910. Государственная Третьяковская Галерея
Киммерийские сумерки Акварель. 1911
Итальянский пейзаж 1911. Государственная Третьяковская Галерея
Облако 1920-е годы. Феодосийская картинная галерея имени И.К.Айвазовского
Кафа (Старая Феодосия) 1927. Феодосийская картинная галерея имени И.К.Айвазовского
Радуга 1931. ГМИИ имени Пушкина
Порт воображаемого города. 1932. Симферопольский художественный музей
Воспоминание о Мантенье. 1942. Симферопольский художественный музей
в которых наиболее полно представлено творчество Богаевского