Константин Данькевич родился 11 (24) декабря 1905 года в Одессе, ныне - на Украине.
Учился в Одесском музыкально-драматическом институте, (ныне - Одесская государственная музыкальная академия имени А. В. Неждановой), окончил его с отличием в 1929 году по классам фортепиано и композиции. Композиции учился у В. А. Золотарёва, П. И. Молчанова и Н. Н. Вилинского, по классу фортепиано учился у М. И. Рыбицкой. Именно Н. Н. Вилинский, прослушав игру талантливого пианиста К. Ф. Данькевича, настоял на том, чтобы он начал заниматься композицией. После окончания института его творческая дружба с Н. Н. Вилинским продолжалась на протяжении десятилетий.
С 1929 Данькевич работает преподавателем, а с 1935 — доцент Одесской консерватории.
В 1942—1943 годах был художественным руководителем ансамбля войск НКВД Закавказья.
В 1944—1951 годах ректор Одесской консерватории; как утверждается на официальном сайте Одесской государственной музыкальной академии имени А. В. Неждановой, Данькевич внёс большой вклад в восстановление учебного заведения после Великой Отечественной войны.
С 1953 года профессор Киевской консерватории.
В 1941—1944 и в 1956—1967 гг. К. Ф. Данькевич был председателем Союза композиторов Украины. С 1948 член правления СК СССР, с 1962 секретарь СК СССР.
Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.
Константин Данькевич — автор музыки к фильмам «Триста лет тому…» (реж. Владимир Петров), «Правда» (режиссёр Виктор Добровольский и Исаак Шмарук), «Рожденные бурей» (режиссёры Яков Базелян, Артур Войтецкий и Виталий Войтецкий), «Лилея» (режиссёры Вахтанг Вронский и Василий Лапокниш).
Александр Сокол, ректор Одесской государственной музыкальной академии им. А.В. Неждановой, вспоминает о Данькевиче:
Свои акценты расставляет дирижёр Игорь Блажков: