В 1984 году с отличием окончил Московский государственный институт международных отношений МИД СССР.
Был переводчиком. Работал на различных дипломатических должностях в центральном аппарате и загранучреждениях МИД СССР и России.
В 1991 году окончил факультет повышения квалификации Дипломатической академии МИД СССР.
С 1991 года — первый секретарь Посольства, а с 1994 года — советник Посольства Российской Федерации в Швеции.
Принимал участие в ряде международных конференций по вопросам европейской безопасности и разоружения. Входил в группу советников Министра иностранных дел Российской Федерации. Был заместителем директора 2-го европейского департамента МИД России, отвечал за реализацию российского внешнеполитического курса на североевропейском направлении.
С мая 1998 года — советник, затем помощник по международным вопросам Председателя Правительства Российской Федерации (В аппаратах Сергея Владиленовича Кириенко, Евгения Максимовича Примакова, Сергея Вадимовича Степашина).
Занимал должность заместителя руководителя секретариата Председателя Правительства Российской Федерации С. В. Степашина.
С 19 декабря 1999 года по декабрь 2003 года — депутат Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации третьего созыва, первый заместитель руководителя фракции «Отечество — Вся Россия», заместитель председателя Комитета по международным делам, член Комиссии по оказанию содействия Союзной Республике Югославии в преодолении последствий агрессии Организации Североатлантического договора, член Комиссии по вопросам выполнения договора между Российской Федерацией и Соединенными Штатами Америки об ограничении систем противоракетной обороны от 26 мая 1972 года (Договора по ПРО), Договора о всеобъемлющем запрещении ядерных испытаний (ДВЗЯИ) и заключения нового договора о дальнейшем сокращении и ограничении стратегических наступательных вооружений (Договора СНВ-3).
В 2003—2007 годах — депутат Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации четвёртого созыва от партии «Единая Россия». Председатель комитета Государственной Думы по международным делам.
2 декабря 2007 года избран депутатом Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации пятого созыва. Председатель комитета Государственной Думы по международным делам.
4 декабря 2011 года избран депутатом Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации шестого созыва. Заместитель председателя комитета Государственной Думы по международным делам.
5 марта 2012 года назначен руководителем Федерального агентства по делам Содружества Независимых Государств, соотечественников, проживающих за рубежом, и по международному гуманитарному сотрудничеству и спецпредставителем Президента России по связям с государствами — участниками СНГ.
В совершенстве владеет шведским и английским языками.
Как глава делегации Российской Федерации в ПАСЕ, 30 сентября 2009 года, заявил следующее:
И добавил ещё одно, резкое высказывание (что, как правило спокойному Косачеву не свойственно):
«Независимая газета» пишет, что часть депутатов ПАСЕ была буквально ошарашена резкостью заявлений российского представителя.