Константин Абрамов родился 25 декабря 1906 года на станции Иркутск-Сортировочный в семье рабочего.
С окончанием 9 классов работал секретарем Назаровского райкома комсомола Красноярского края.
В ряды РККА был призван в 1928 году, служил красноармейцем 36-й стрелковой дивизии. В 1929 году участвовал в боях на КВЖД. С 1930 по 1935 годы Абрамов служил командиром стрелкового взвода, секретарем комсомольского бюро полка, комиссаром батальона связи.
В 1938 году закончил Военно-политическую академию им. Ленина. С 1938 по 1939 годы служил военным комиссаром механизированной бригады, военным комиссаром 15-го танкового корпуса. В марте 1939 года был назначен начальником политуправления Сибирского военного округа (Новосибирск).
С началом войны на базе округа была сформирована 24-я армия, в которой Константин Абрамов также стал начальником политуправления.
В составе Резервного фронта 24-я армия под командованием генерал-майора К. И. Ракутина хорошо проявила себя в Смоленском сражении и сыграла решающую роль в Ельнинской наступательной операции, проходившей в сентябре 1941 года. Константин Абрамов проявил в этих боях свои личную отвагу и талант боевого политработника и пользовался большим уважением в войсках. Благодаря работе Абрамова армия имела высокую моральную и боевую устойчивость личного состава. В октябре 1941 года вместе с армией попал в Вяземский котёл, во время нахождения которого был ранен. С группой бойцов сумел прорваться из окружения.
С декабря 1941 по май 1942 года работал членом Военного Совета 24-й армии второго формирования, формировавшаяся в Московском военном округе.
С июня 1942 года работал членом Военного Совета 64-й армии, которая отличилась во время Сталинградской битвы. С августа 1942 по февраль 1943 года вместе с команиром 64-й армии Шумиловым находился на передовой в Сталинграде.
Указом от 6 декабря 1942 года Константину Абрамову присвоено воинское звание «генерал-майор».
С июня по август 1943 года был членом Военного Совета 63-й армии, которая в то время принимала участие в Орловской наступательной операции.
С августа 1943 года до конца войны служил членом Военного Совета 6-й гвардейской армии, принимавшая участие в освобождении Левобережной Украины, в Невельско-Городоской, Белорусской, Прибалтийской операциях и в блокаде Курляндской группировки противника.
В Витебско-Оршанской и Полоцкой операциях генерал-майор Абрамов, находясь в передовых частях армии, обеспечивал быстроту их наступления в глубине обороне гитлеровцев: армия проходила от 20 до 40 километров в день. К исходу второго дня наступления передовые части армии в районе Витебска к реке Западная Двина, которые, под руководством генерал-майора Абрамова форсировали реку и закрепились на западном берегу. Эти действия позволили остальным армиям фронта замкнуть колько вокруг Витебской группировки гитлеровцев, уничтожив её всего за двое суток. Продолжив наступление участвовал в прорыве укрепленного рубежа обороны группы армий «Центр» южнее Полоцка, а затем, в течение пяти дней, прошёл более ста километров, при этом нанося отступающему противнику большой урон.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года за умелое руководство партийно-политической работой и личное мужество в период форсирования Западной Двины в июне 1944 года и прорыва обороны противника в районе города Полоцк гвардии генерал-майору Константину Кириковичу Абрамову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С 1946 по 1949 годы Константин Абрамов учился в Военной Академии Генерального штаба, окончив которую, был переведён на командную работу. С 1949 года командовал стрелковым корпусом в составе Северо-Кавказского военного округа. Жил в Сталинграде, где и умер 10 апреля 1952 года.