Родился 13 апреля (1 мая) 1873 года, (по другим источникам - 19 апреля и 17 апреля), в г. Лебедяни Тамбовской губернии, (ныне - Липецкая область, Россия), в купеческой семье. Отец, Николай Иванович, был известен как начитанный, образованный человек, который любил музыку и литературу.
Музыкальные способности мальчика проявились рано. С четырех лет его стали учить игре на фортепиано. 14 января 1881 года, когда ему шел восьмой год, он уже выступил в смешанном концерте с фантазией из оперы Верди «Трубадур».
Учась в прогимназии, Константин Игумнов в 1886 году вместе с товарищем дал концерт. Присутствовавшая на том концерте М. Моршанская вспоминала:
С 1887 года, параллельно с обучением в Первой московской классической гимназии, брал частные уроки игры на фортепиано у знаменитого педагога Н. С. Зверева (одновременно с Рахманиновым и Скрябиным). В 1888 году поступил вольнослушателем в Московскую консерваторию в класс А. И. Зилоти, затем П. А. Пабста; одновременно занимался полифонией у С. И. Танеева, пробовал силы в композиции. В 1892 году поступил в Московский университет — сначала на юридический, потом на историко-филологический факультет. Окончил консерваторию в 1894 году с золотой медалью и тогда же дебютировал как солист. Участвовал в 1895 году в Международном конкурсе пианистов имени А. Г. Рубинштейна в Берлине, где получил похвальный отзыв. В дальнейшем постоянно концертировал, преимущественно в Москве, давал частные уроки игры на фортепиано, был одним из самых популярных в Москве педагогов.
В 1898 году принял приглашение стать преподавателем Тифлисского отделения Императорского русского музыкального общества. В 1899 году стал профессором Московской консерватории, продолжая выступать как в России, так и за рубежом. По отзывам современников, пианизм Игумнова избегал крайностей: для него были типичны слегка приглушенная динамика, мягкое туше, певучий, бархатный звук, благородство интерпретации.
После Октябрьской революции 1917 года Игумнов вошел в состав Музыкального совета при Народном комиссариате по просвещению (концертный подотдел). При его участии происходила реформа музыкального образования; в частности, в Московской консерватории были созданы курсы эстетики, истории культуры, истории литературы, введен класс камерного ансамбля. С 1919 года — постоянный член учебно-художественного комитета консерватории; весной 1924 года был избран на пять лет директором.
В концертном репертуаре пианиста 1930-х годов — серия монографических концертов: Бетховен, Лист, Шопен, Чайковский, Рахманинов (Игумнов — первый в России исполнитель Рапсодии на тему Паганини, 1939 год), Метнер, Танеев; особенно часто Игумнов играл как солист и ансамблист произведения Чайковского, став их непревзойденным интерпретатором.
Похоронен на Новодевичьем кладбище.