Константин Попа начал свою карьеру в клубе «Динамо» (Бухарест). С 1987 по 1990 год он играл в юношеских сборных Румынии и стал серебряным призёром на европейском первенстве 1990 года. С 1987 года он начал выступать также за взрослую сборную Румынии.
В 1991 году Попа отправился в США, где четыре года провёл в Университете Майами. Попа до настоящего времени остаётся рекордсменом университетской команды Miami Hurricanes по числу накрытых бросков.
В 1995 году, в год окончания университета, он был выбран в драфте НБА под общим 53-м номером командой «Los Angeles Clippers». Он был также выбран под общим четвёртым номером командой «Miami Tropics», играющей в USBL, но в итоге не стал игроком ни одной из этих команд, а вернулся в Европу. Сезон 1995/96 годов он закончил в клубе «По-Ортез», с которым выиграл чемпионат Франции.
После окончания сезона во Франции Попа сыграл несколько игр за команду CBA «Florida Beachdogs», а затем подписал четырёхлетний контракт с лидером израильского баскетбола Маккаби (Тель-Авив) на общую сумму в один миллион долларов. За время выстулений за «Маккаби» Попа женился на израильтянке и, согласно местным законам, получил израильское гражданство.
С «Маккаби» Попа стал четырёхкратным чемпионом Израиля и трёхкратным обладателем Кубка Израиля. Он также дошёл с командой до финала Кубка европейских чемпионов в сезоне 1999/2000. После этого он провёл один сезон за другую ведущую израильскую команду, «Хапоэль» (Иерусалим), завоевав с ней серебряные медали первенства страны. В 2001 году он подписал контракт с командой второго дивизиона из Лев ха-Шарона, но в октябре заявил об окончании карьеры.
После окончания активной карьеры Константин Попа с семьёй снова перебрался в США, где два года работал коммивояжёром, продавая офисное оборудование. Затем он начал тренировать детские и молодёжные баскетбольные команды во Флориде, а затем команду девушек Университета Индианаполиса, где в качестве помощника главного тренера работал начиная с 2007 года.