Константин Сараджев родился 27 сентября (9 октября) 1877 года в Дербенте. Закончил Московскую консерваторию по классу скрипки у И. В. Гржимали и по классу контрапункта у С. И. Танеева в 1898 году. Позже переехал в Лейпциг, где с 1904 года познавал основы дирижирования у Артура Никиша.
В 1908 году Константин Сараджев начал самостоятельную дирижёрскую деятельность в симфонических и оперных театрах. В 1922 году стал профессором Московской консерватории, где работал до 1935 года. В 1924 году был назначен главным дирижёром самодеятельного московского симфонического оркестра, который в 1926 году получил имя дирижёра.
В 1935 году Константин Сараджев переехал в Ереван, где уже в следующем году стал профессором Ереванской консерватории. Здесь же до 1939 года занимал должность главного дирижёра Армянского театра оперы и балета им. А. Спендиарова, а также художественным руководителем и главным дирижёром Армянской филармонии.
За заслуги был награждён орденом Ленина, 2 другими[уточнить] орденами, несколькими медалями.