Косме Дамиан родился 2 ноября 1885 года в Лиссабоне. Учился в школе «Каса Пиа». В возрасте 18 лет Дамиан, увлекавшийся игрой в футбол, вместе со своими друзьями решил организовать футбольную команду. Идея нашла своё воплощение через год, новую команду нарекли «Спорт Лисбоа», через 2 года команда слилась с клубом «Спорт Клуб де Бенфика» и стала выступать под названием «Спорт Лисбоа и Бенфика». Дамин всю карьеру провёл в этой команде, играя на позиции полузащитника, став капитаном команды и тренером клуба. За 12 лет в «Бенфике» Дамиан сыграл 76 матчей и забил 14 мячей, 5 раз выигрывал чемпионаты Лиссабона, включая три чемпионата подряд с 1911 по 1914 годы. Сыграл Дамиан и за сборные команды, представляя город Лиссабон и неофициальную сборную Португалии.
Ещё будучи игроком, Дамиан стал главным тренером «Бенфики», продолжал возглавлять клуб и по завершении игровой карьеры. Дамиан оставался на тренерском мостике «Бенфики» на протяжении 18 лет. Также был футбольным функционером, президентом клуба «Каса Пиа» и основателем футбольной газеты «О Спорт Лисбоа», директором которой он работал с 1913 по 1931 годы.