Козьма Солдатёнков родился в Москве, в купеческой семье. Его дед Егор Васильевич родился в деревне, расположенной близ Павловского Посада, организовал там же в 1874 году небольшое шёлкоткацкое производство, где сам работал на станке вместе с двумя сыновьями Терентием и Константином. Сыновья вскоре переселились в Москву. Дела вели толково и стали владельцами ткацкой фабрики, где трудились около сотни наёмных рабочих, выпускавших шёлковые ткани. Торговали они также бумажной пряжей и хлопком.
К. Т. Солдатёнков систематического образования не получил, но отличался незаурядным природным умом.
В 1852 году после смерти старшего брата Ивана Терентьевича стал управлять семейным предприятием, которое впоследствии унаследовал его племянник Василий Иванович Солдатёнков (1847—1910).
Был крупным текстильным фабрикантом; приобрёл широкую известность как покровитель искусства и бескорыстный издатель ряда ценных сочинений. С конца 1840-х годов собирал картины преимущественно русских художников (К. П. Брюллов, А. А. Иванов, В. Г. Перов, П. А. Федотов и других). Помощь в их отборе ему оказывал брат В. П. Боткина искусствовед Николай Петрович Боткин и художник Александр Андреевич Иванов. За богатое и щедрое покровительство искусствам он получил прозвище «Козьма Медичи».
Участвовал в создании крупнейшей в России текстильной фирмы — Товарищества Кренгольмской мануфактуры бумажных изделий в Нарве (1857, член правления), Московского учётного банка (1869, член совета). Один из главных организаторов мануфактурных фирм — «Товарищество Гюбнера Альберта» (1871), пайщик Товарищества Никольской мануфактуры «Саввы Морозова сын и Ко» (1873).
Солдатёнков: член Коммерческого суда (1854—1858), член и старшина Московского биржевого комитета (1855—1858); во время Крымской войны — член Комитета для принятия от купечества средств на военные надобности (1855—1856), член Московского отделения Совета торговли и мануфактур, выборный Московского купеческого общества, гласный Московской городской думы (1863—1873), член попечительского совета Художественно-промышленного музея (с 1865), действительный член Общества любителей коммерческих знаний при Академии Коммерческих наук, член совета благотворительного общества при Басманной больнице, член Попечительного комитета женских курсов В. Герье. В 1866 году Солдатёнков основал так называемую Солдатёнковскую богадельню («Богадельня коммерции советника К. Т. Солдатёнкова в память 19 февраля 1861 года») на 100 постоянных жителей Москвы и заезжих «всех сословий и исповеданий, но преимущественно из бывших дворовых людей». Он предоставил для богадельни двухэтажное кирпичное здание (Бывшая 4-я Мещанская, теперь — Мещанская улица, 15) и капитал в 15 тысяч рублей, затем ежегодное дополнительное финансирование, был её пожизненным попечителем. В 1894 году Солдатёнков перевёл 2 400 рублей за гипсы Мюнхенской глиптотеки И. В. Цветаеву, собиравшему тогда коллекцию слепков всемирно известных произведений для создаваемого им Музея изящных искусств.
Скончался 19 мая (1 июня) 1901 и погребен на Рогожском кладбище. К сожалению, советские годы не пощадили ни могилу Козьмы Терентьевича Солдатенкова, ни большую усыпальницу купцов-старообрядцев Солдатёнковых (участок 4 кладбища).
В 1901 году по завещанию Солдатенкова его библиотека (8 тысяч томов книг и 15 тысяч экземпляров журналов), а также коллекция русской живописи (258 полотен и 17 скульптур) перешла к Румянцевскому музею и как национальное достояние хранилась в отдельной зале с наименованием «Солдатёнковской». После закрытия Румянцевского музея в 1924 году они пополнили фонды Третьяковской галереи и Русского музея. Часть икон из его собрания была завещана Покровскому собору Рогожского кладбища.
В исполнение духовного завещания Солдатёнкова были построены ремесленное училище имени К. Т. Солдатёнкова (1909) (трёхэтажное здание архитектора В. Шервуда на Донской улице, 37) и городская больница для бедных (до 1920 года — Солдатенковская больница).
По инициативе Н. Х. Кетчера, совместно с Н. М. Щепкиным, сыном знаменитого актера, Солдатёнков организовал в 1856 году издательство, открыл книжный магазин (1857).
Солдатёнковым были изданы:
и многие другие капитальные произведения, преимущественно по истории.
С 1895 года по инициативе и под редакцией М. П. Щепкина выходила «Библиотека экономистов» (11 выпусков: произведения А. Смита, Д. Рикардо, Дж. Милля, Д. Юма).
К. Т. Солдатёнков принимал активное участие в жизни московской белокриницкой общины. Финансировал поездку в Лондон старообрядческому епископу Коломенскому Пафнутию (Овчинникову) и устроил его встречи с Н. П. Огарёвым, А. И. Герценом, В. И. Кельсиевым. В один из периодов был склонен к принятию единоверия о чём было сообщено митрополиту Московскому Филарету (Дроздову) председателем единоверческого Никольского прихода на Рогожском кладбище В. А. Сапёлкиным.
В 1862 году приветствовал составленное архиепископом Антонием (Шутовым) и Ксеносом (И. Г. Кабановым) Окружное послание.
В Рогожском посёлке на средства Солдатёнкова была выстроена богадельня.
В 1881 году, когда правительство разрешило поставить временный алтарь в Покровском храме на Рогожском кладбище. Строить его было некогда, и Солдатёнков предложил в качестве временного алтаря свою походную церковь, которую он заказал во Франции. Через два года она была возвращена в дом хозяина.
Усадьба, в которой жил К. Т. Солдатёнков включала главный дом (№ 37), западный флигель (№ 33) и восточный флигель (№ 37 стр. 3). В конце XVIII века здесь был «двор купца А. И. Докучаева в приходе церкви Николая Чудотворца на Мясницкой».
После московского пожара 1812 года усадьба была восстановлена в 1819—1821 годах по проекту архитекторов О. И. Бове и А. Г. Григорьева; затем перестроена А. И. Резановым. С 1857 года ей владел Солдатенков. Здесь находилась собранная им огромная библиотека и коллекция картин. Управляющим усадьбы был его сын от гражданского брака с Клемансо Карловной Дебуи (Дюпон) — И. И. Барышев.
В домашней молельне Солдатёнкова были иконы строгановской школы. К числу ценнейших относились подписные иконы XVI века — «Погребение Иоанна Богослова» мастера Никифора Славина и «Неделя шестая о слепом» мастера Истомы Савина. Жемчужиной собрания был «Спас» Андрея Рублева, приобретённый Солдатёнковым в Саввино-Сторожевском монастыре.
Согласно завещанию Солдатёнкова, из его капитала выделялись средства для постройки в Москве бесплатной больницы для бедных независимо от сословий и религий. Московское городское управление выделило в 1903 году 10 десятин земли на Ходынском поле. Строительство было начато в 1908 году, а в 1910 году состоялось её официальное открытие. В настоящее время больница носит название Городская клиническая больница имени С. П. Боткина (2-й Боткинский проезд, 5; в 1992 году у здания администрации был установлен памятник Солдатёнкову).
В 1862 году купцы Золотаревы продали участок (нынешний адрес — Сверчков пер., 3/2) вместе с садом Козьме Терентьевичу Солдатёнкову, который построил здесь одноэтажный особняк для своей гражданской жены Клемансо Карловны Дебуи (1822—1908).
После смерти Дебуи в 1910 году владелицей дома стала Мария Терентьевна Дёмина. При ней особняк перестроили по проекту архитектора Струкова; в 1967 году появился второй этаж и в особняке до 2003 года разместилось посольство Афганистана.
В Филёвском парке Кунцево находится усадьба, которую в 1865 году Солдатёнков приобрёл у В. Л. Нарышкина. В это время 130 десятин земли располагались в живописном дачном месте. После пожара 1812 года здесь были выстроены главный дом и два симметричных одноэтажных флигеля, сооруженных в ампирных формах и подчеркивавших главную ось комплекса. На протяжении XIX века главный дом перестраивался дважды — в середине века и после покупки его Солдатенковым. Здесь Солдатенков устраивал для своих друзей великолепные праздники, с роскошными обедами, концертами и фейерверками. Здесь, в Кунцево, он открыл детскую школу для местных крестьян.
До 1974 года главный дом был деревянным, однако утратил бельведер. В 1976 году после пожара он был разобран и восстановлен в кирпиче, но первоначальные архитектурные формы сохранились.