Томсон родился 17 апреля 1991 года в шотландском городе Эдинбург.
В детстве был болельщиком злейшего врага «Харт оф Мидлотиан» — «Хиберниана». Тем не менее это не помешало Крэйгу получить своё футбольное образование именно в молодёжной академии «сердец», в которую он пришёл в 2001 году.
1 апреля 2009 года Томсон подписал с эдинбургским клубом свой первый профессиональный контракт.
Дебют Крэйга в первом составе «Хартс» состоялся 27 августа этого же года в матче Лиги Европы, в котором его команда встречалась с хорватским «Динамо» из Загреба. Впечатлив своим не по годам зрелым выступлением в этом поединке, он был назван лучшим игроком поединка.
Через три дня Томсон впервые вышел на поле в матче шотландской Премьер-лиги. В этот день «сердца» сыграли в ничью 2:2 с клубом «Сент-Джонстон». После поединка Крэйг вновь был признан лучшим игроком встречи. Капитан «Хартс», Мариус Жалюкас, прокомментировал игру Томсона, назвав его «будущим эдинбургского клуба».
Выделяясь точными длинными пасами и отличным исполнением стандартных положений, Крэйг заслужил прозвище от шотландских журналистов — «Новый Бекхэм».
В октябре 2009 года Томсон был признан «Молодым игроком месяца в шотландской Премьер-лиге» за свою впечатляющую игру в сентябре.
20 декабря в матче против «Селтика» Крэйг получил травму колена, которая потребовала хирургического вмешательства. На поле он вернулся лишь спустя три месяца.
(откорректировано по состоянию на 14 декабря 2010)
С 2007 года Крэйг защищает цвета различных молодёжных сборных Шотландии. В данный момент является игроком национальной юношеской команды страны, в составе которой он провёл два матча. В ноябре 2010 года 19-летний Томсон был вызван в молодёжную сборную Шотландии на товарищескую встречу против сверстников из Северной Ирландии. В том же поединке, который состоялся 17 ноября, Крэйг и дебютировал в первом составе «молодёжки».