Родился в семье кузнеца. В 1909 году поступил «на казённый кошт» в Донское сельскохозяйственное училище, расположенное в пос. Персиановском неподалёку от Новочеркасска. Учился отлично, редактировал рукописный ученический журнал «Первые шаги». После окончания училища был направлен агрономом в Сальский округ. Желая продолжать образование, поступил на заочное отделение Киевского коммерческого института, но с началом Первой мировой войны был призван в армию, откуда позднее был направлен в краткосрочную школу прапорщиков при Новочеркасском казачьем училище.
Отец не имел возможности купить ему коня (казак и в армии должен был иметь своего коня), и Кривошлыков был назначен в 28-й Донской казачий полк командиром пешей разведки. С фронта он писал отцу: «…Папаша, офицеры посмеиваются над моей службой, да и на самом деле тягостна служба пешим. Хотя в казне выпроси в долг денег и купи коня…» Конь был куплен, переправлен на фронт, и Кривошлыков получил назначение на должность командира сотни. После Февральской революции был избран председателем полкового комитета и членом комитета 5-й Донской казачьей дивизии. Весной 1917 года прапорщик Кривошлыков приехал на побывку домой с русско-германского фронта. Односельчане избрали его делегатом на Войсковой круг, который собрался в мае 1917 года в Новочеркасске, где он выступил с резкой обличительной речью против атамана Каледина, после чего в июне вновь отправился на фронт.
Восставшая 5-я казачья дивизия, в состав которой входил 28-й полк, снялась с передовых позиций и отправилась на Дон, где была расквартирована в хуторе Гусеве, вблизи станицы Каменской, и где началась революционная деятельность Кривошлыкова.
В казачьем антисоветском журнале «Донская Волна» за 1918 год можно найти такой отзыв о Кривошлыкове:
На съезде казаков-фронтовиков, состоявшемся в станице Каменской 10 (23) января 1918 года, был избран секретарём Донского казачьего военно-революционного комитета (Донревкома) (председатель — Ф. Г. Подтелков). С февраля 1918 — секретарь Донского областного ВРК. В апреле 1918 года в Ростове состоялся первый съезд Советов Донской Советской республики, на котором было создано правительство советского Дона, вошедший в него Кривошлыков стал комиссаром по делам управления. В составе мобилизационного отряда — так называемой экспедиции Подтёлкова — он был направлен на Верхний Дон для формирования революционных воинских частей. В хуторе Калашникове экспедиция была схвачена белоказаками. 78 её участников были расстреляны, а сам Кривошлыков — повешен 11 мая 1918 года вместе с Подтёлковым в хуторе Пономарёве.