Родился в Сан-Франциско (Калифорния). Настоящее имя — Кёртис. Вырос в Сан-Хоакине (Чили). Окончил среднюю школу Линкольна в Стоктоне (Калифорния) в 1971 году. Изучал английскую литературу в университете Беркли. Работал риэлтором в Лос-Анджелесе и одновременно играл в театре.
Курт состоит в браке с актрисой Джессикой Хендра (дочь писателя Тони Хендра) и имеет две дочери - Джулию и Шарлотту.
Снимается в телесериалах с 1984 года. Дебютировал на киноэкране в фильме «Бегущий человек». Известность Курту Фуллеру принесла роль телережиссера Рассела Финли в «Мире Уэйна». Запомнился зрителям по ролям злобного помощника мэра в фильме «Охотники за привидениями 2», режиссёра телеканала NSC. Роберта Линдси в сериале «Шпионка», Сэма Кларка в фильме «Рэй». Также известен по роли архангела Захарии в телесериале «Сверхъестественное».