Хамрин начал играть в футбол в юношеских командах «Хувудста» и «Росунга», а в 1952 году начал карьеру профессионального игрока в шведском столичном клубе «АИК». Курт Хамрин — далеко не единственный из скандинавских спортсменов, которые летом играют в футбол, а зимой — в хоккей, но он один из немногих, кому довелось сыграть в национальной сборной по обоим видам спорта. Хамрин дважды выходил на поле в составе сборной Швеции по хоккею, а в 1952 году в составе хоккейной команды «АИКа» стал победителем второй хоккейной лиги и вышел в первую. Впрочем, после этого Хамрин решил сосредоточиться на футболе и профессионально в хоккей больше не играл.
В 1956 году он пошёл по стопам своих знаменитых соотечественников Гуннара Грена, Гуннара Нордаля и Нильса Лидхольма и начал играть в итальянском чемпионате, подписав контракт с «Ювентусом». За этот клуб он сыграл лишь один сезон, приняв участие в 23 матчах и забив 8 мячей, однако вся его последующая клубная карьера проходила в клубах итальянской «Серии А». Хамрин — один из немногочисленных скандинавских игроков, которому удалось прекрасно приспособиться к знойному средиземноморскому климату; даже по окончании футбольной карьеры он остался жить в Флоренции. В Италии его шведское прозвище «Курре» изменилось на «Уччеллино» (итал. uccellino — «птенец»), которое намекает на его небольшой рост (170 см).
В 1957 году он перешёл в «Падову», за которую также сыграл лишь один сезон, а в следующем году перешёл в «Фиорентину». В этом клубе Хамрин задержался почти на десятилетие; именно там он в полной мере раскрыл свой футбольный талант и приобрёл славу и популярность среди итальянских тиффози. Хамрин сыграл за «Фиорентину» 289 матчей «Серии А», забив 150 мячей. Его рекорд по количеству мячей, забитых за «Фиорентину», держался на протяжении тридцати лет, пока не был превзойден Габриэлем Батистутой в 2000 году. В составе «Фиорентины» Хамрин дважды (в 1961 и 1966 годах) выигрывал Кубок Италии, а также в 1961 — Кубок обладателей кубков. В сезоне 1963/64 в матче с «Аталантой», который «Фиорентина» выиграла со счетом 7:1, Хамрин забил пять мячей, установив рекорд «Серии А» по количеству голов, забитых одним игроком в гостевом матче.
В 1967 году он перешёл в «Милан», в составе которого в 1968 году впервые стал чемпионом Италии. В том же сезоне «Милан» выиграл Кубок обладателей кубков; в финале розыгрыша против немецкого «Гамбурга» оба победных гола забил именно Хамрин. В следующем сезоне он в составе «Милана» выиграл Кубок Чемпионов.
После двух сезонов в составе «Милана» Хамрин перешёл в «Наполи», за который сыграл ещё три сезона. В 1972 году он на короткое время вернулся в Швецию, где играл за столичный «Стокгольм», но вскоре после этого решил завершить футбольную карьеру.
Всего в «Серии А» Хамрин забил 191 гол, и по настоящее время занимает шестую позицию в списке лучших бомбардиров лиги (после Сильвио Пиолы, Гуннара Нордаля, Жозе Альтафини, Джузеппе Меацца и Роберто Баджо).
В национальную сборную Швеции Хамрин впервые был призван в 1953 году, почти сразу после начала его профессиональной карьеры в шведском «АИКе». Через несколько лет он уже считался одним из лучших игроков сборной.
В составе сборной Швеции Хамрин принимал участие в чемпионате мира 1958 года, на котором Швеция заняла второе место. В полуфинальном матче против сборной ФРГ Хамрин стал для немцев настоящей «костью в горле»: сначала выйдя один на один с вратарем немцев Эрихом Юсковяком он спровоцировал того на нарушение правил, которое привело к удалению вратаря с поля, а затем сам забил решающий гол.
В финале чемпионата сборная Швеции уступила со счетом 2:5 сборной Бразилии, в составе которой играл 17-летний Пеле.
Всего с 1953 по 1965 годы Хамрин сыграл за сборную 32 матча, в которых забил 17 мячей.
По окончании активной футбольной карьеры Хамрин поселился во Флоренции, где живёт и сейчас. Он часто приезжает в Швецию, чтобы посетить один-два матча клуба «АИК», в котором началась его футбольная карьера. Во Флоренции он регулярно принимает участие в праздниках и церемониях, которые устраивает клуб «Фиорентина».