Квинси Овусу-Абейе родился в Амстердаме 15 апреля 1986 года в семье выходцев из Ганы; у него было 4 сестры и двое братьев. Его детство прошло в районе Бейлмер, где он начал играть в футбол. В возрасте 6 лет он начал свою карьеру футболиста в молодёжной академии амстердамского «Аякса», в которой провёл 9 лет. В возрасте 16-ти лет Квинси был исключён из клуба из-за своего отношения к делу и конфликтов с тренерским штабом «Аякса».
После исключения Квинси из «Аякса» Лиам Брэйди, руководитель молодёжных команд лондонского «Арсенала», предложил футболисту пройти просмотр. По его результатам в сентябре 2002 года Квинси стал игроком «Арсенала». В сезоне 2002/2003 Квинси выступал за молодежную команду клуба до 17 лет и забил в 20-ти играх 17 голов, включая 6 мячей в матче с «Вулверхэмптон Уондерерс», который завершился в пользу «канониров» 7:1. В день своего 18-ти летия Квинси подписал свой первый профессиональный контракт. Это, однако, привело к наложению на клуб штрафа в 10 000 фунтов и двухлетнему запрету на трансферы: агент игрока не имел необходимой для своей деятельности лицензии. В июле 2005 года Квинси подписал новый контракт с «Арсеналом».
Во взрослой команде клуба Квинси дебютировал 23 октября 2003 года, выйдя на 85-й минуте Кубка лиги с «Ротерем Юнайтед». Игра перешла в стадию дополнительного времени, в котором Квинси вышел один на один с голкипером «Ротерема» Майком Поллиттом, и тот был удалён с поля за игру рукой вне штрафного площади. В результате игра дошла до серии пенальти, которую «Арсенал» выиграл, хотя Квинси свой одиннадцатиметровый не забил. 9 ноября 2004 года в том же турнире Квинси забил свой первый гол за «Арсенал», поразив ворота «Эвертона», сделав в той игре ещё и две голевые передачи. В том же сезоне он впервые вышел на поле в Лиге чемпионов в матче с «Русенборгом».
5 марта 2005 года Квинси дебютировал в матче английской Премьер-лиги, где его клуб играл с «Портсмутом». Несмотря на достаточно частые появления на поле, Квинси не смог пробиться в основной состав «Арсенала», хотя понимал, что тренировки рядом с Деннисом Бергкампом и Тьерри Анри очень полезны. После того, как в январе 2006 года «Арсенал» купил ещё двух форвардов, Эммануэля Адебайора и Тео Уолкотта, Квинси принял решение покинуть команду.
30 января 2006 года Квинси подписал контракт с московским клубом «Спартак» на 3 года с возможностью продления договора по желанию российской команды ещё на 2 года. По словам главного тренера команды, Александра Старкова: «Абейе — игрок высокого класса и может принести „Спартаку“ немало пользы. Прежде всего он добавит нашей атаке скорости и агрессивности. Мне импонирует его стиль игры. Быстрый, фланговый дриблер, обладающий ударом с обеих ног. Такого футболиста мы и планировали приобрести».
4 марта Квинси дебютировал в составе «Спартака» в матче Кубка России с «Лучом»
1 сентября 2007 года Квинси был отдан в годичную аренду в клуб испанской Сегунды — «Сельту», чей главный тренер, Христо Стоичков, очень желал видеть игрока в своей команде.
В августе 2008 года отдан в аренду на год в английский «Бирмингем Сити», вылетевший из Премьер-лиги.
С января 2009 года на правах аренды выступал в «Кардифф Сити».
31 августа 2009 года вновь заявлен в чемпионате России за «Спартак».
29 января 2010 года Квинси, на правах аренды, перешёл в «Портсмут».
1 апреля 2010 года Квинси перешёл в клуб «Аль-Садд», заплативший за трансфер ганца 3 млн евро. По контракту он будет получать 80 тыс. фунтов в неделю
В августе появилась информация о том, что Квинси перейдёт в «Малагу». 21 августа 2010 года футболист на правах аренды перешёл в испанский клуб. 12 сентября, во втором матче за клуб, Квинси забил гол; его команда победила «Сарагосу» 5:3. В апреле 2011 года Квинси был отстранён от тренировок клуба за нарушение дисциплины. 7 мая Овусу-Абейе в своём блоге в Твиттере опубликовал запись: «Я никогда не забуду поклонников „Малаги“ и своих товарищей по команде. Я провёл прекрасное время в Малаге. Не могу поверить, что люди считают, что я пропускал тренировки команды безо всякой причины».
15 июля 2011 года Квинси был арендован клубом «Панатинаикос» за 500 тыс. евро, с заработной платой в 400 тыс. евро за сезон.
Летом 2005 года в составе сборной Нидерландов Квинси принял участие в юниорском чемпионате мира. Несмотря на то, что голландцы не прошли дальше четвертьфинала, выступление Квинси было признано прессой «блестящим», в рейтинге лучших игроков турнира по версии ФИФА он занял второе место после Лео Месси из «Барселоны».
В 2006 году Квинси было предложено выступать за сборную Ганы, что он первоначально воспринял как шутку. 25 января 2007 года Квинси поехал в состав первой сборной Ганы на товарищеский матч с Нигерией. В марте футболист принял решение выступать за национальную ганскую команду для чего подал прошение в ФИФА.