Родился 6 марта 1911 года в с. Большие Салы Области Войска Донского, ныне Мясниковского района Ростовской области в семье крестьянина. Армянин.
Два года учился в сельской школе, а затем переехал с родителями в город Ростов-на-Дону, где продолжил учебу в школе № 13. Окончив 9 классов, он поступил на завод «Ростсельмаш», работал землекопом, молотобойцем, электромонтером.
В Красной Армии с 1933 года. В 1934 году окончил Ворошиловградскую военную школу пилотов, позже — курсы комиссаров при Харьковской военной школе пилотов. Член ВКП(б) с 1937 года.
Участник войны с Финляндией в 1939—1940 годах. За мужество и героизм, проявленные в боях с белофиннами, Чапчахов был награжден орденом Красной Звезды. На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Первый бой принял в небе столицы Эстонии. Воевал на Северо-Западном фронте, под Ленинградом. Военный комиссар эскадрильи 38-го отдельного истребительного авиаполка Лазарь Чапчахов особенно отличился в боях осенью 1941 года, когда, сражаясь с врагом, умело и решительно, он уничтожил несколько бомбардировщиков противника. За образцовое выполнение боевых заданий командования был награжден орденом Ленина.
5 апреля 1942 года Чапчахов возглавил 416-й истребительный авиационный полк, а через неделю, 13 апреля, погиб. Случилось это на своем аэродроме Крестцы в Ленинградской области при попытке предотвратить аварию самолета неудачно севшего молодого летчика. К этому времени Чапчахов Л.С. совершил 268 боевых вылетов, провел 59 воздушных боев, сбил лично 8 самолетов и 19 в групповых боях.
Похоронен в поселке Крестцы, ныне Новгородской области.