Родился 20 марта 1900 года в Санкт-Петербурге.
В 1923 году первый раз съездил в Псков.
Окончил Ленинградский государственный университет, затем стал работать в псковском губернском музее, описывать книжные фонды, а также собирать старинные рукописи.
В 30-е годы XX века был осуждён; впоследствии находился в Соловецком лагере, а также на поселении в Карельской АССР. Там он увлёкся исследованием произведения неизвестного автора «Слова о полку Игореве», древней литературой Севера, историей этого края и археологическими раскопками.
Во время Великой Отечественной войны проживал в Новосибирске; в 1944 году он переезжает на постоянное жительство в Псков, где до самой смерти работает в псковском музее-заповеднике.
Л. А. Творогов создал древлехранилище: он выделил из библиотеки псковского музея рукописные и редкие книги.
Осуществил публикацию исследований о «Слове о полку Игореве»; в исследованиях он доказывал, что именно Псков сохранил это произведение для отечественной культуры.
Л. А. Творогов является автором многочисленных краеведческих публикаций.
Умер 28 июля 1978 года. Похоронен на Орлецовском кладбище Пскова.