В 1932—1952 многократный чемпион СССР (42 золотые медали). Установил свыше 120 рекордов на чемпионатах СССР, Европы и мира.
Участник Великой Отечественной войны 1941—1945.
В 1946 вступил в КПСС.
С 1952 доцент МГУ. После смерти Мешкова его именем назовут бассейн, находящийся в подвальном помещении главного здания МГУ.
С именем Мешкова, а также другого выдающегося советского пловца Семёна Бойченко связано становление и развитие спортивного плавания в СССР.