Родился 6 августа 1914 года в поселке Алексеевка Хвалынского уезда Саратовской губернии. После окончания неполной средней школы работал грузчиком, кочегаром. В 1936 году окончил Куйбышевский речной техникум, ходил по Волге на пароходе «Альтфатер» Волжского объединенного речного пароходства, помощником механика.
В РККА с 1936 года. В 1937 году закончил 3-ю военную школу лётчиков, г. Оренбург, по специальности «стрелок-бомбардир». В 1941 году закончил обучение в Московской Краснознаменной школе связи.
Участник Великой Отечественной войны с августа 1941 года.
К маю 1945 года гвардии капитан Грошев совершил 226 боевых вылетов на разведку и бомбардировку военно-промышленных объектов в тылу противника, нанеся большой урон противнику. Участвовал в бомбардировках военных объектов Кенигсберга, Тильзита, Констанцы, Галаца, Дебрецена, Люблина, Будапешта, Хельсинки, Данцига, Бреслау, Лодзи, Штеттина и Берлина.
С 1946 года Грошев Л. П. — капитан запаса. Жил в городе Аткарске. Работал старшим инспектором районного производственного управления сельского хозяйства.
Скончался Леонид Петрович 29 марта 1986 года. Похоронен в городе Аткарске.
Именем Героя назван буксир-толкач, «Герой Л. П. Грошев», на линии Москва—Астрахань, р. Волга.