Родился в Тульской губернии (станция Узловая), с 17 лет работал на стройке. В 1926 году окончил профтехучилище Народного комиссариата путей сообщения, работал сначала помощником машиниста, а затем машиниста паровоза.
В 1934 году закончил Московский институт химического машиностроения. После окончания работал инженером на химическом заводе в городе Дзержинске.
В 1938 был мобилизован на службу в органах государственной безопасности. Через год становится начальником отделения научно-технической разведки.
Являлся одним из инициаторов начала работы внешней разведки по атомной тематике.
В 1943 году направлен в Нью-Йорк в качестве заместителя резидента по научно-технической разведке. Во время его работы в Нью-Йорке были получены важнейшие материалы по использованию атомной энергии в военных целях, а также информация и образцы техники по вопросам авиации, химии, медицины.
После войны вернулся в Москву и был назначен заместителем начальника отдела научно-технической разведки, а в 1947 году возглавил этот отдел, который возглавлял до момента ухода в отставку в 1966 году.
Квасников Л. Р. умер 15 октября 1993 года, похоронен на Ваганьковском кладбище.