С 1962 года — рабочий на Дмитровском электромеханическом заводе.
С 1962 года — в составе сборной СССР по горнолыжному спорту.
1966—1972 — инструктор на горнолыжной базе, потом — старший тренер Совета ДСО «Труд» в Москве.
С 1971 года — старший тренер по горнолыжному спорту Московской области.
В 1973 году окончил факультет физического воспитания Московского областного педагогического института имени Н. К. Крупской.
В период с 1971 по 1975 годы окончил курс обучения в Австрии в горнолыжной школе в городе Кирхбергу Пеле Шотепек.
С 1975 года — главный тренер сборной СССР. В 1981 году под непосредственным руководством Тягачёва мужская горнолыжная сборная СССР добилась крупнейшего успеха в своей истории, выиграв пять этапов Кубка мира в течение месяца — сначала Валерий Цыганов, затем четырежды Александр Жиров. Ни до, ни после этого мужчины-горнолыжники СССР и России этапы Кубка мира не выигрывали.
В 1976 году, по утверждению авторов книги «КГБ играет в шахматы», был завербован офицером 5-го Управления КГБ СССР В. А. Лавровым как агент «Эльбрус».
С 1983 по 1985 — тренер сборной Узбекской ССР по горным лыжам, затем советник при правительстве Узбекской ССР по вопросам спорта, туризма и отдыха.
С 1985 года — президент Федерации горнолыжного спорта.
В 1996—1999 — председатель Государственного комитета Российской Федерации по физической культуре и туризму.
В 1999—2001 — первый вице-президент Олимпийского комитета России.
18 июля 2001 года был избран президентом Олимпийского комитета России.
22 декабря 2005 года переизбран на этот пост на второй срок.
В 2009 году переизбран на этот пост на третий срок.
С 2006 года — член Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации — Представитель от законодательного (представительного) органа государственной власти Ростовской области. Член Комитета Совета Федерации по международным делам и Комиссии Совета Федерации по делам молодежи и спорту. Срок окончания полномочий — 2013 год.
4 марта 2010 года, после провального выступления Сборной России на Зимних Олимпийских играх-2010, отправлен в отставку с поста президента Олимпийского комитета России.
1 марта 2010 года Президент Российской Федерации Дмитрий Анатольевич Медведев заявил, что в отставку должны подать все чиновники, отвечавшие за подготовку российских спортсменов к Олимпийским играм-2010, пообещав «помочь» тем из них, кто не сможет принять такого решения самостоятельно. По мнению ряда экспертов, это высказывание должно было касаться министра спорта, туризма и молодёжной политики Российской Федерации Виталия Мутко и председателя Олимпийского комитета России Леонида Тягачёва.
4 марта 2010 года, Тягачёв заявил о своей отставке. Хотя незадолго до Олимпийских игр он был переизбран на третий срок на посту президента Олимпийского комитета России.
В июне того же года Тягачёв покинул и комиссию Совфеда по физкультуре и спорту.
Женат, двое детей.