Леонид Лебедев окончил Центральную музыкальную школу при Московской консерватории в 1983 году. С 1983 по 1984 год он играл в камерном оркестре под управлением Святослава Рихтера. В 1986 году Лебедев стал солистом-концертмейстером группы флейт Большого симфонического оркестр имени П. И. Чайковского под управлением Владимира Федосеева. В 1990 году Леонид Лебедев окончил Московскую консерваторию по классу Юрия Должикова.
В 2001 году Лебедев покинул БСО и стал солистом—заместителем концертмейстера группы флейт и руководителем группы деревянных духовых инструментов ГАСО России имени Светланова под управлением Марка Горенштейна. С 2006 года он преподаёт в Московской консерватории. С 2008 года Лебедев также является доцентом Государственной классической академии им. Маймонида. В 2008 году ему было присвоено звание Народный артист России.