Леопольд Авербах родился в Саратове. Отец — Леонид Исаакович Авербах, владелец пароходной компании на Волге. Мать — Софья Михайловна (урожд. Свердлова; 1882—1951), сестра Якова Свердлова.
Из пятого класса гимназии уходит на комсомольскую работу, избирается членом ЦК комсомола первого созыва. Затем — секретарь Московского комитета РКСМ, редактор «Юношеской правды» (1920). Член РКП(б) с 1920 г. Работает за границей по линии Коммунистического Интернационала молодежи.
После возвращении из-за границы по рекомендации Троцкого Авербах назначен редактором журнала «Молодая гвардия». Редактировал газету «Уральский рабочий». Член редколлегии «На посту», а с основания журнала «На литературном посту» — его ответственный редактор. Проводил в журнале политику вытеснения писателей, которых считал «попутчиками». Один из основателей РАППа, ген. секретарь ВАПП (1926—1932). Соредактор книги "Канал имени Сталина" (1934). До 1937 — 1-й секретарь Орджоникидзевского райкома ВКП(б) (Свердловская область)
Арестован 4 апреля 1937 года. Расстрелян 14 августа 1937 года. Посмертно реабилитирован.
Из теоретических и публицистических работ Авербаха наиболее известны его дискуссии: с Воронским — о возможности существования пролетарской литературы, с Плетневым — о сути пролетарской культуры и пролеткульте.
Помимо публицистических статей, посвящённых непосредственно литературным темам, Авербах занимался разработкой вопросов юношеского движения и проблемами культурной революции.
Был женат на Елене Владимировне Бонч-Бруевич, дочери В. Д. Бонч-Бруевича. Сестра Леопольда Авербаха, Ида Авербах, была замужем за Генрихом Ягодой. Секретарь Политбюро ВКП(б) в 1920-х годах Б. Г. Бажанов в своих воспоминаниях писал: