В 1942 году поступил в первый класс общеобразовательной школы № 14 имени Короленко, одновременно учился в хоровой капелле мальчиков. В 1950 году Сивухин сдал экзамены и был принят в музыкальное училище. Будучи студентом училища, в 1952 году начал трудовую деятельность хормейстером, а затем художественным руководителем и главным дирижёром хоровой капеллы мальчиков.
В 1959 году Лев Сивухин окончил Горьковскую консерваторию. С 1962 году сочетал работу в капелле с преподавательской деятельностью в Горьковской консерватории. В 1989 году Л. К. Сивухину было присвоено звание профессора, в 1994—1996 гг. он занимал должность ректора.
В 1972 году Лев Константинович организовал камерный хор «Нижний Новгород», который в 1997 году получил статус муниципального. Сивухин был одним из руководителей Всероссийской творческой лаборатории хормейстеров при Министерстве культуры России (с 1991 г.), главным дирижёром объединённого хора международного конкурса «Мужское братство» и сводного хора Всероссийского конкурса «Поющая Россия».
Сивухин — лауреат международных конкурсов в Эстонии (1988 г.), Югославии (1992 г.), Польше (1992 г и 1993 г.), Болгарии (1983 г.), Италии (1999 г.). С капеллой мальчиков Лев Константинович принимал участие в гастролях и фестивалях в России, странах СНГ и за рубежом (Германия (1991 г.), Франция (1992 г и 1995 г.), Испания (1998 г.),США (2001 г.)
За заслуги в области музыкального искусства Л. К. Сивухину в 1976 году было присвоено звание заслуженного деятеля искусств России, в 1982 году — народного артиста России. В 1993 году награждён премией города Нижнего Новгорода, в 1998 году удостоен звания «Почётный гражданин города Нижнего Новгорода», в 1999 году стал кавалером Ордена Почёта.
Лев Сивухин похоронен на нижегородском кладбище «Марьина роща».