Родился в 1916 году в селе Карагуж Старо-Бординского района Алтайского края. Работал счетным работником в Ойрот-Тунинском райлесхозе. В 1937—1939 годах служил в рядах Советской Армии. Кадровую армейскую службу прошел рядовым бойцом, а затем сержантом в кавалерийском эскадроне. Отечественную войну начал конником. Попав в окружение, пробился в отряд Ковпака. Был Разведчиком. Здесь он провел рейды по Брянским лесам, на Правобережную Украину, в Карпаты, Польшу, Чехословакию.
Указом президиума Верховного Совета СССР А. Н. Ленкину присвоено звание Героя Советского Союза. Умер в 1974 году.
До войны А. Н. Ленкин был бухгалтером леспромхоза в Алтайском крае. В 1968 году А. Н. Ленкин работал директором завода в г. Козловке Чувашской Республики.