Людмилу Турищеву привел в большую гимнастику выдающийся тренер Ким Ефимович Вассерман в 1963 году. Трижды он приходил к её родителям домой, уговаривая их и саму Людмилу, чтобы способная девочка занималась спортивной гимнастикой. И уговорил. Год и два месяца занималась Людмила Турищева с К. Е. Вассерманом. Уже тогда обращали на себя внимание такие черты будущей чемпионки, как старательность, аккуратность в исполнении упражнений и упорство в отработке элементов и комбинаций. Волевой характер Людмилы Турищевой был виден уже в первый год её занятий в гимнастическом зале. Десятилетняя школьница поверила Киму Ефимовичу Вассерману, своему первому тренеру, нашедшему её при отборе в школе, что она сможет, приложив усилия, стать выдающейся спортсменкой и добиться мировой славы. В 1964 году Ким Ефимович Вассерман передал свою группу девочек, в которой тренировалась и Людмила Турищева, Владиславу Растороцкому (Растороцкий тренировал только девочек, а Вассерман оставил себе мальчиков). Первую свою золотую Олимпийскую награду Людмила выиграла в 16-летнем возрасте, это произошло на Олимпийских играх в Мехико 1968 года. В составе сборной СССР вместе с Зинаидой Ворониной, Натальей Кучинской, Ларисой Петрик, Ольгой Карасёвой и Любовью Бурдой, Турищева добилась победы в командном первенстве. Впервые абсолютной чемпионкой мира Людмила стала в 1970 году в Любляне, в 1971 году прибавился титул абсолютной чемпионки Европы. Вскоре спортсменка переезжает из Грозного в Ростов-на-Дону, поступает в Ростовский педагогический институт, продолжая выступать на самом высоком уровне.
На XX Олимпийские игры в Мюнхене спортсменка приезжает лидером советской сборной, и завоевывает 2 золотые награды в командном и абсолютном личном первенстве. В 1973 году спортсменка вновь становится абсолютной чемпионкой Европы, год спустя абсолютной чемпионкой мира. На третьей своей Олимпиаде в Монреале Людмила Турищева, капитан советской гимнастической сборной, вновь пополняет копилку Олимпийских наград, завоевав золото в командном первенстве, две серебряные награды за выполнение вольных упражнений и опорного прыжка, и бронзовую награду в абсолютном первенстве. Сразу после завершения Олимпийских игр спортсменка уходит из большого спорта, переквалифицировавшись в тренера. В общей сложности за свою спортивную карьеру Людмила Турищева получала награды разных турниров и соревнований 137 раз.
Замужем с 1977 года за выдающимся в прошлом спортсменом-легкоатлетом Валерием Борзовым, дочь Татьяна — студентка.
Закончила в 1974 году Ростовский педагогический институт.
В 1986 году закончила обучение в аспирантуре Государственного дважды орденоносного института физической культуры имени П. Ф. Лесгафта (кафедра теории и методики гимнастики). В этом же году защитила диссертацию «Компоненты исполнительского мастерства гимнасток и методы их оценки» на степень кандидата педагогических наук.
В 1975 году во время соревнований в Лондоне на Кубок мира Людмила Турищева выполняла свои упражнения на разновысоких брусьях. Когда упражнение приближалось к концу, она почувствовала, что конструкция снаряда не держится. Однако Людмила успешно довела упражнение до конца, и сразу после соскока конструкция брусьев за её спиной развалилась. Людмила Турищева, демонстрируя полное самообладание, поприветствовала судей и зрителей и ушла с помоста как ни в чём не бывало.