Родился в г. Киеве в семье рабочего завода «Арсенал». После окончания Военно-Медицинской академии (1931) служил врачом в войсках.
Закончил адъюнктуру при кафедре оперативной хирургии и топографической анатомии ВМА, с которой была связана вся его жизнь. Там он работал преподавателем, старшим преподавателем, заместителем начальника кафедры.
Профессор (1941).
В 1938 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Крайние типы изменчивости системы нижней полой вены и их прикладное значение».
В 1943 г. назначен начальником кафедры оперативной хирургии ВММА, в 1948 г. — начальником кафедры оперативной хирургии и топографической анатомии ВМА, которую возглавлял до своей кончины. В 1943—1953 гг. основал и возглавил ВММ МО СССР.
Одно из важнейших направлений в исследованиях А. Н. Максименкова — разработка учения об индивидуальной изменчивости органов и систем тела человека.
Продолжая традиции своего учителя В. Н. Шевкуненко, он развил учение об индивидуальной изменчивости, придав ему новое оригинальное направление, основанное на исследованиях не только различий в форме и положении анатомических образований, но и их физиологического значения, роли в возникновении и течении патологических процессов, что имеет наибольшее значение для современной хирургической практики.
А. Н. Максименков провёл большую работу в качестве ответственного секретаря и соавтора издания «Опыт советской медицины в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.».
Крупнейший знаток жизни и творчества Н. И. Пирогова.
Под его руководством выполнено 11 докторских и 50 кандидатских диссертаций. Во многих медицинских вузах страны кафедры оперативной хирургии возглавляли его ученики.
Похоронен на академической площадке Богословского кладбища Санкт-Петербурга.
22 июня 2006 года на здании анатомического корпуса академии установлена мемориальная доска.