Отец — Иван Казей — коммунист, активист, прослужив 10 лет на Балтфлоте, затем работал на МТС, возглавлял курсы подготовки трактористов, был председателем товарищеского суда, в 1935 году арестован за «вредительство», реабилитирован в 1959 году.
Мать — Анна Казей — также была активисткой, входила в избирательную комиссию по выборам в Верховный совет СССР. Также подвергалась репрессиям: была арестована дважды по обвинению в «троцкизме», но затем освобождена. Несмотря на аресты, продолжала активно поддерживать Советскую власть.
Во время Великой Отечественной войны прятала у себя раненых партизан и лечила их, за что в 1942 году была повешена немцами в Минске. После смерти матери Марат со старшей сестрой Ариадной ушли в партизанский отряд им. 25-летия Октября (ноябрь 1942 года).
Когда партизанский отряд выходил из окружения, Ариадна Казей отморозила ноги, в связи с чем её самолётом доставили на Большую землю, где ей пришлось ампутировать обе ноги. В дальнейшем она закончила педагогический институт, стала Героем Социалистического труда, депутатом Верховного Совета, членом ревизионной комиссии ЦК Компартии Белоруссии.
Марату, как несовершеннолетнему, тоже предложили эвакуироваться вместе с сестрой, но он отказался и остался в отряде.
Впоследствии Марат был разведчиком штаба партизанской бригады им. К. К. Рокоссовского. Кроме разведок, участвовал в рейдах и диверсиях. За смелость и отвагу в боях награждён орденом Отечественной войны 1-й степени, медалями «За отвагу» (раненый, поднял партизан в атаку) и «За боевые заслуги». Возвращаясь из разведки и окружённый немцами, Марат Казей подорвал себя и врагов гранатой.
Звание Героя Советского Союза присвоено в 1965 году — через 21 год после гибели.
В Минске герою установлен памятник, изображающий юношу за мгновение до геройской смерти.
Отец Марата — Иван Казей — проходил военную службу на линкоре «Марат». По этой причине назвал сына Маратом.