Родился 13 марта 1931 в городе Баку. Окончил юридический факультет Ростовского государственного университета в 1954 году. В 1957 окончил аспирантуру Института государства и права Академии наук (АН) СССР.
С 1957 по 1962 работал научным сотрудником Института государства и права Академии наук СССР. В 1962—1967 — доцент Московского государственного института международных отношений МИД СССР. В 1968 защитил докторскую диссертацию. В 1970 получил звание профессора конституционного права. С 1967 по 1977 работал заведующим отделом Института международного рабочего движения АН СССР. С 1977 по 1995 был проректором Высшей школы профсоюзного движения (с 1990 — Академия труда и социальных отношений). С 1977 по 1995 также занимал должность профессора кафедры конституционного права МГИМО.
30 мая 1997 года М. В. Баглай избран членом-корреспондентом РАН в отделение философии, социологии, психологии и права.
7 февраля 1995 Марат Баглай был избран судьей Конституционного Суда РФ. 13 февраля того же года выдвигался на пост Председателя Конституционного Суда.
20 февраля 1997 избран Председателем Конституционного Суда РФ на трехлетний срок. 21 февраля 2000 переизбран председателем Конституционного суда России. Однако, через год его полномочия как судьи КС должны были истечь по возрасту (70 лет). За кандидатуру Баглая проголосовало 18 из 19 членов КС.
21 февраля 2003 был избран новый глава КС России — Валерий Зорькин. Полномочия Баглая на этом посту, а также на посту судьи КС были прекращены.
Высший квалификационный класс.