В 1624 году Наум Иванович за московское осадное сиденье царем Михаилом Федоровичем пожалован поместьем в Белёском уезде (д. Бибино). В этом же году его сын Гаврил Наумович также был пожалован поместьем в Белёвском уезде (село Нижнее Юриково, д. Резанцева).
Отец Наума Ивановича — запорожский козак Иван Офремов, который служил в опричнине Ивана IV и был пожалован вотчиной в Белёвском уезде — считается родоначальником дворян Афремовых («потомство Наума Ивановича»).,
Наум Иванович является предком известного тульского историка Ивана Федоровича Афремова (1794—1866).